Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, пусть
«Теория вероятности в школе» - Сложные события. Несколько испытаний. Произвольное подмножество пространства элементарных событий. Вероятность. Реализация определенного комплекса условий. Независимые события. Теорема умножения вероятностей. Правило произведения. Наивероятнейшее число появлений события. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
«Вероятность случайного события» - Элементарные события. Дважды бросают симметричную монету. Бросание одной игральной кости. Элементарные события случайного эксперимента. Сумма вероятностей. Благоприятствующие элементарные события. Стрелок. Футбольный матч. Таблица элементарных событий. При бросании правильной монеты. Равновозможные элементарные события.
«Сложение и умножение вероятностей» - Теоремы умножения и сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Частный случай. Независимые события. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Теорема сложения вероятностей. Вероятности попадания в цель. Теорема умножения вероятностей. Каждое событие. Условная вероятность.
«Теория вероятности к экзамену» - Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Бросание. Благоприятное событие А. Правило произведения (правило умножения). В мешке находятся 2 чёрных и 3 белых шара. Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями. Вероятность события. Учебно-методичиские пособия. Число, записанное посередине.
«Вероятность появления события» - Натуральное число. Определение вероятности события. Эксперимент. Возможность оценки вероятности. Комбинации. Вероятность. Место. Вероятность противоположного события. Вероятность события. Число случаев. Элементы комбинаторики. Число элементов. Элементы теории вероятности. Статистическое определение вероятности событий.
«Случайная величина» - Формула Бернулли. Узкий прямоугольник. Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений. Функция распределения есть неубывающая функция. Законом распределения СВ называется любое соотношение. Задача. Случайная величина (СВ). Разные интервалы значений СВ. Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ.
Всего в теме 23 презентации
Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, пусть возможные значения случайной величины X полностью заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Нет. Необходим общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.
Функцией распределения Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X
Х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно" title="Свойства функции распределения 1. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно" class="link_thumb"> 4 Свойства функции распределения Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале: P (a х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно"> х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале: P (a"> х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно" title="Свойства функции распределения 1. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно"> title="Свойства функции распределения 1. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно">
Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х -1 F(x) = х/4+1/4 при Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0
4. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна 0. Таким образом, имеет смысл рассматривать вероятность попадания случайной величины в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Напр., интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.
Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х 1) означает, что событие X=х 1 невозможно (если не ограничиваться классическим определением вероятности). В результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х 1.
5. 5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то 1) F(х) = 0 при х а; 2) F(х) = 1 при х b. ] Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: Lim F(х) = 0; Lim F(х) = 1. х- х+
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Способ задания непрерывной случайной величины с помощью ф-ции распределения не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую ф-цию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) – первую производную от ф-ции распределения F(х): f(х) = F"(х). Отсюда функция распределения является первообразной для плотности распределения.
π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." class="link_thumb"> 18 Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2. π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2.">
Свойства плотности распределения Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x) 0. График плотности распределения называют кривой распределения Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен 1. f(x)dx = 1. -
Вероятностный смысл плотности распределения Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Для достаточно малых x. F(x + x) - F(x) f(x)x. Т.к. разность F(x + x) - F(x) определяет (см. выше) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; x + x), то эта вероятность, след-но, приближенно равна произведению плотности вероятности в т. х на длину интервала х.
Основные распределения
Случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
всех форм обучения
Составитель В.А. Бобкова
Иваново 2005
Составитель В.А. Бобкова
Основные распределения случайных величин: Методические указания для самостоятельной работы студентов всех форм обучения/ Сост. В. А. Бобкова; ГОУВПО Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2005. 32 с.
Методические указания посвящены одному из важных разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно: основным распределениям случайных величин. Дано понятие случайной величины, описаны способы задания дискретных и непрерывных случайных величин, приведены определения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения. Далее рассмотрены основные распределения дискретных случайных величин: распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения, а также основные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное распределения. Выведены формулы для числовых характеристик рассмотренных распределений, приведены графические иллюстрации и примеры решения задач. Даны задачи для самостоятельного решения.
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей вуза.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензент доктор технических наук, профессор А. Н. Лабутин
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
Основные сведения о случайных величинах
Понятие случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены.
Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X,Y, Z, …, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z, … .
Примеры случайных величин:
1) число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определённого времени;
2) вес наугад взятого зерна пшеницы;
3) число отличных оценок у студентов одной группы на экзамене;
4) расстояние от точки метания диска до точки падения;
5) число опечаток в книге.
Разнообразие случайных величин велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счётным или несчетным; эти значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы (конечные или бесконечные).
Дискретные случайные величины – это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Например, число появлений герба при пяти подбрасываниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5); число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения 1, 2, … , n, где n – число имеющихся в наличии патронов); число отказавших элементов в приборе, состоящем из трех элементов (возможные значения 0, 1, 2, 3) – это дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины – это случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал. Например, время безотказной работы прибора, дальность полёта снаряда, время ожидания автобуса – это непрерывные случайные величины.
Способы задания случайных величин
Для того, чтобы задать случайную величину, надо знать те значения, которые она может принимать, и вероятности, с которыми случайная величина принимает свои значения. Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто распределением ). Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
Пусть X –дискретная случайная величина, которая принимает значения (множество этих значений конечно или счетно) с некоторыми вероятностями 
. Закон распределения дискретной случайной величины
удобно задавать с помощью формулы 
i = 1, 2, 3, … , n, … , определяющей вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение . Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения
:
| X | … | … | |||
| P | … | p n | … |
Здесь первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) случайной величины, а вторая – их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения .
Так как события несовместны и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – их вероятности. Ломаную, соединяющую последовательно полученные точки, называют многоугольником распределения .
Очевидно, что ряд распределения можно построить только для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин нельзя даже перечислить все возможные значения.
Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является её функция распределения.
Пусть Х – случайная величина, х - действительное число. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют вероятность того, что эта случайная величина примет значение, меньшее, чем х:
(1)
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x, то есть что случайная точка X попадёт в интервал .
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :
2. F(x) – неубывающая функция, то есть 
если .
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , где a
, если ее функция распределения
F
(x
) равна 0 при x
, 1 при x
> b
и меняется линейно от 0 до 1 при a
.
(a + b )/2 , а дисперсия - (b − a ) 2 /12 .
На рисунке показан график этой функции распределения для a
= 0 и b
= 1 .
Этот закон распределения нам очень важен, так как все стандартные компьютерные датчики случайных величин (псевдослучайные числа) моделируют именно такие случайные величины, а из них уже и создаются нужные нам случайные величины.
Показательное распределение
Случайная величина распределена показательно или экспоненциально, если она неотрицательна и F (x ) = 1 − exp(−λ x ) , где λ - положительная константа.
Математическое ожидание такой случайной величины равно λ − 1 , а дисперсия - λ − 2 .
На рисунке показан график этой функции распределения для λ = 3 .
Этот закон распределения нам часто встречается в приложениях, особенно в радиотехнических и коммуникационных. В частности, часто предполагается, что время разговора двух абонентов распределено по показательному закону.
Нормальное распределение
Это самое популярное из стандартных распределений вероятности, и на первый взгляд может показаться странным, что наиболее распространена такая сложная формула.
Случайная величина распределена нормально или по Гауссу, если (справа портрет К. Ф. Гаусса (1777-1855))
Эта функция зависит от параметров a и σ . Математическое ожидание такой случайной величины равно a , а дисперсия - σ 2 .
На графике показана стандартная функция с a = 0 и σ = 1 .
Причина частого появления этого закона в приложениях в том, что при сложении случайных величин очень часто распределение их суммы, рассматриваемой в качестве случайной величины, приближается к нормальному.
В наших задачах оно встречаться не будет, но не упомянуть о нем было бы неприлично.
Распределение Бернулли
Это простейшее дискретное распределение названо в честь швейцарского математика Якова Бернулли старшего (1654-1705) , (еще был и младший, работавший в Петербурге).
Случайная величина распределена по Бернулли, если она принимает всего два значения. Обычно этими значениями являются 1, вероятность которой равна p
,
и 0, вероятность которого равна q
= 1 − p
.
Математическое ожидание такой случайной величины равно p , а дисперсия - pq .
Такой график вы, конечно, построите сами.
Закон Бернулли очень удобен для всякого рода модельных построений, он всего чуть сложнее, чем его частный случай - бросание монеты, где p = 1/2 .
Биномиальное распределение
Случайная величина ξ , равная сумме n независимых одинаковых бернуллиевских случайных величин, имеет биномиальное распределение. Для нее
Математическое ожидание такой случайной величины равно np , а дисперсия - npq .
Биномиальное распределение при увеличении числа слагаемых n
становится очень похожим на нормальное распределение.
Нужно только подходящим образом нормировать случайную величину: вычесть математическое ожидание и поделить на корень из дисперсии, т. е. вместо ξ рассматривать
η = (ξ — np
)(npq
) − 1/2 .
Если же с ростом n вероятность p уменьшается, причем так, что сохраняется или стабилизируется произведение np , получается другое классическое распределение, которое мы сейчас опишем.
Распределение Пуассона
Это распределение предложено французским математиком Симеоном Пуассоном (1781-1840) , почетным членом Петербургской Академии наук.
Случайная величина ξ имеет пуассоновское распределение, если
Математическое ожидание такой случайной величины равно λ , и дисперсия тоже λ .
Пуассоновское распределение характерно для схемы редких событий - в которой складывается очень много случайных величин с распределением Бернулли и очень малой вероятностью положительного исхода у каждого.
Например, отмечалось, что количество писем, опущенных в почтовый ящик с ненадписанным конвертом, имеет пуассоновское распределение.
Упражнения
-
Случайная величина принимает значения 0 с вероятностью 0.3, 2 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.5. Найдите ее математическое ожидание и дисперсию.
Две случайных величины имеют математическое ожидание 0 и дисперсию 1. В каких пределах может меняться дисперсия их суммы. Постройте пример с наибольшим и наименьшим значением дисперсии суммы.
Экзаменационные вопросы
Случайные величины и их функции распределения.
Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства.
www.math.spbu.ru
Образовательный блог - всё для учебы
Повторение опытов
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа проявлений события в результате серии опытов. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.
Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.
Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же Р i (А)=const. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется Р i (А)=var. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму – общая теорема о повторении опытов.
Формулировка частной теоремы о повторении опытов:
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А проявляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз выражается формулой:
где q = 1 - p, C n m - число всех комбинаций, т.е. число способов которыми можно из n опытов выбрать m в которых произошло событие А.
Формула общей теоремы:
где z – произвольный параметр.
Как в общем, так и в частном случае:
Случайные величины и законы их распределения
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.
Случайные величины бывают двух типов:
непрерывные;
прерывные (дискретные).
Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами.
Пример:
Х- число попаданий при трех выстрелах:
х 1 = 0;
х 2 = 1;
х 3 = 2;
х 4 = 3.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями x 1 , x 2 , …, x n . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью
Х= х 1 ;
Х= х 2 ;
Х= х 3 ;
Х= х 4 .
∑P m,n = 1, так как несовместные события образуют полную группу. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задано это распределение, т.е. в точности указано, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим устанавливается так называемый закон распределения случайной величины.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах:
табличной;
аналитической;
графической.
Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.
Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание
Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам , которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:
Случайной называют величину , которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.
Случайные величины, как правило, обозначают через * , а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .
* Иногда используют , а также греческие буквы
Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей , где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:
– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.
В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем) ; при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:
– количество мальчиков среди 10 новорождённых.
Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:
Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.
И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:
– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .
Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂
Тем не менее, ваши гипотезы?
Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.
Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы :
1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно .
…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры !
2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .
Закон распределения дискретной случайной величины
– это соответствие
между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей: 
Довольно часто встречается термин ряд
распределения
, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
А теперь очень важный момент
: поскольку случайная величина обязательно
примет одно из значений
, то соответствующие события образуют полную группу
и сумма вероятностей их наступления равна единице:
или, если записать свёрнуто:
Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид: 
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша: 
…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .
Решение
: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу
, а значит, сумма их вероятностей равна единице: 
Разоблачаем «партизана»: 
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
Контроль: , в чём и требовалось убедиться.
Ответ :
Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.
Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.
Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению
:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:
И для :
Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!
Ответ
: искомый закон распределения выигрыша: 
Следующее задание для самостоятельного решения:
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.
…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .
Математическое ожидание дискретной случайной величины
В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение
выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности
.
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный
по вероятностям выигрыш:
Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно
.
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения
.
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем
проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка
: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия
, о которой мы узнаем во 2-й части урока.
Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:
Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:
Найти , если известно, что . Выполнить проверку.
Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины
, и по возможности,
Что включает в себя медицинский осмотр (по приказу 302н)
При проведении медосмотра в соответствии с приказом № 302н всем в обязательном порядке проводятся:
клинический анализ мочи;
[…] Государственная программа по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом
Пошаговая памятка для участников Государственной […] Разбираемся, каким должен быть размер минимальной пенсии инвалида 2 группы
Сейчас государство разными способами производит помощь социально незащищенным слоям населения.
Отдельную заботу […]
