Бинарные отношения. Отношение эквивалентности, фактор-множество

∼ {\displaystyle \sim } . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией .

Отображение из X {\displaystyle X} в множество классов эквивалентности X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } называется факторотображением . Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие ∀ x , y ∈ X {\displaystyle \forall x,\;y\in X} , либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента x ∈ X {\displaystyle x\in X} однозначно определён некоторый класс из X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } , иными словами существует сюръективное отображение из X {\displaystyle X} в X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } . Класс, содержащий x {\displaystyle x} , иногда обозначают [ x ] {\displaystyle [x]} .

Если множетво снабжено структурой, то часто отображение X → X / ∼ {\displaystyle X\to X/\!\sim } можно использовать чтобы снабдить фактормножество X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } той же структурой, например топологией. В этом случае множество X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } с индуцированной структурой называется факторпространством .

Энциклопедичный YouTube

1 / 4

✪ 3. Классы эквивалентности

✪ Теория множеств Лекция 3 Часть 1

✪ Теория множеств Лекция 3 Часть 2

✪ Теория множеств Лекция 3 Часть 3

Субтитры

Факторпространство по подпространству

Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть X {\displaystyle X} - линейное пространство , а L {\displaystyle L} - некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента x , y ∈ X {\displaystyle x,\;y\in X} таких, что x − y ∈ L {\displaystyle x-y\in L} , называются эквивалентными . Это обозначается x ∼ L y {\displaystyle x\,{\overset {L}{\sim }}\,y} . Получаемое в результате факторизации пространство называют факторпространством по подпространству L {\displaystyle L} . Если X {\displaystyle X} разлагается в прямую сумму X = L ⊕ M {\displaystyle X=L\oplus M} , то существует изоморфизм из M {\displaystyle M} в X / ∼ L {\displaystyle X/\,{\overset {L}{\sim }}} . Если X {\displaystyle X} - конечномерное пространство , то факторпространство X / ∼ L {\displaystyle X/\,{\overset {L}{\sim }}} также является конечномерным и dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L {\displaystyle \dim X/\,{\overset {L}{\sim }}=\dim X-\dim L} .

Примеры

. Можно рассмотреть фактормножество X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } . Функция f {\displaystyle f} задаёт естественное взаимноднозначное соответствие между X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } и Y {\displaystyle Y} .

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Теория множеств. Основные понятия

Теория множеств является основополагающим определением современной математики. Она была создана Георгом Кантором в 1860-х гг. Он писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое». Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить. Таким образом, множество – объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью; совокупность некоторых объектов, определенных общим признаком.

Например,

1. Множество жителей г. Воронежа

2. Множество точек плоскости

3. Множество натуральных чисел ℕи др.

Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами(A, B, C и т.д.). Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами(a, b, c и т.д.). Если Х – множество, то запись х∈Х означает, что х есть элемент множества Х или что х принадлежит множеству Х , а запись х∉Х , что элемент х не принадлежит множеству Х . Например, пусть ℕ–множество натуральных чисел. Тогда 5 ℕ , а 0,5∉ℕ .

Если множество Y состоит из элементов множества Х , то говорят, что Y является подмножеством множества Х и обозначают Y⊂Х (или Y⊆Х ). Например, множество целых чисел ℤ является подмножеством рациональных чисел ℚ .

Если для двух множеств Х и Y одновременно имеют место два включения Х Y и Y Х , т.е. Х есть подмножество множества Y и Y есть подмножество множества Х , то множества Х и Y состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и Y называют равными и пишут: Х=Y .

Часто используется термин пустое множество - Ø - множество, не содержащее ни одного элемента. Оно является подмножеством любого множества.

Для описания множеств могут использоваться следующие способы.

Способы задания множеств

1. Перечисление объектов. Используется только для конечных множеств.

Например, Х={x1, x2, x3… x n } . Запись Y={1, 4, 7, 5} означает, что множество состоит из четырех чисел 1, 4, 7, 5 .

2. Указание характеристического свойства элементов множества.

Для этого задается некоторое свойство Р , позволяющее определить принадлежность элемента множеству. Этот способ является более универсальным.

Х={х: Р(х)}

(множество Х состоит их таких элементов х , для которых выполняется свойство Р (х) ).

Пустое множество можно задать, указав его свойства: Ø={х: х≠х}

Построить новые множества можно с помощью уже заданных, используя операции над множествами.

Операции над множествами

1. Объединением(суммой) называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В .

А∪ В={х: х А или х В}.

2. Пересечением(произведением) называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых одновременно принадлежит как множеству А , так и множеству В .

А∩В={х: х А и х В}.

3. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В .

А\В={х: х А и х В}

4. Если А – подмножество множества В . То множество В\А называют дополнением множества А до множества В и обозначают А’ .

5. Симметрической разностью двух множеств называют множество А∆В=(А\В) (В\А)

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Свойства операций над множествами:

1. А В=В А (коммутативность объединения)

2. А В=В А (коммутативность пересечения)

3. А(В С)=(А В) С (ассоциативность объединения)

4. А (В С)=(А В) С (ассоциативность пересечения)

5. А (В С)=(А В) (А С) (1 закон дистрибутивности)

6. А (В С)=(А В) (А С) (2 закон дистрибутивности)

7. А Ø=А

8. А U= U

9. А Ø= Ø

10. А U=А

11. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

12. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

13. А (А В)=А (закон поглощения)

14. А (А В)=А (закон поглощения)

Докажем свойство №11. (А В)’=А’ В’

По определению равных множеств, нам необходимо доказать два включения 1) (А В)’ ⊂А’ В’ ;

2) А’ В’⊂(А В)’ .

Для доказательства первого включения, рассмотрим произвольный элемент х∈(А В)’=Х\(А∪В). Это означает, что х∈Х, х∉ А∪В . Отсюда следует, что х∉А и х∉В , поэтому х∈Х\А и х∈Х\В , а значит х∈А’∩В’ . Таким образом, (А В)’⊂А’ В’

Обратно, если х∈А’ В’ , то х одновременно принадлежит множествам А’, В’ , а значит х∉А и х∉В . Из этого следует, что х∉ А В , поэтому х∈(А В)’ . Следовательно, А’ В’⊂(А В)’ .

Итак, (А В)’=А’ В’

Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченной парой. Для ее записи используют круглые скобки. (х 1 , х 2) – двухэлементное множество, в котором х 1 считается первым элементом, а х 2 – вторым. Пары (х 1 , х 2) и (х 2 , х 1), где х 1 ≠ х 2 , считаются различными.

Множество, состоящее из n элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченным набором из n элементов.

Декартово произведение – произвольное множество X 1 , X 2 ,…,X n упорядоченных наборов из n элементов, где x 1 X 1 , x 2 X 2 ,…, x n X n

Х 1 Х n

Если множества X 1 , X 2 ,…,X n совпадают(X 1 = X 2 =…=X n) , то их произведение обозначается Х n .

Например, ℝ 2 – множество упорядоченных пар вещественных чисел.

Отношения эквивалентности. Фактор-множества

По данному множеству можно строить новые множества, рассматривая множество некоторых подмножеств. При этом обычно говорят не о множестве подмножеств, а о семействе или классе подмножеств.

В ряде вопросов рассматривают класс таких подмножеств данного множества А , которые не пересекаются и объединение которых совпадает с А . Если данное множество А можно представить в виде объединения своих попарно не пересекающихся подмножеств, то принято говорить, что А разбито на классы. Разбиение на классы осуществляют на основе какого-либо признака.

Пусть Х – не пустое множество, тогда любое подмножество R из произведения Х Х называется бинарным отношением на множестве Х . Если пара (х,у) входит в R, говорят, что элемент х находится в отношении R с у .

Например, отношения х=у, х≥у являются бинарным отношениями на множестве ℝ.

Бинарное отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если:

1. (х,х) R; х Х (свойство рефлексивности)

2. (х,у) R => (у,х) R (свойство симметричности)

3. (х,у) R, (у,z) R, то (x,z) R (свойство транзитивности)

Если пара (х,у) вошла в отношения эквивалентности, то х и у называют эквивалентными(х~у).

1.Пусть ℤ – множество целых чисел, m≥1 – целое число. Зададим отношение эквивалентности R на ℤ так, чтобы n~k , если n-k делится на m . Проверим, выполняются ли свойства на данном отношении.

1. Рефлексивность.

Для любого n∈ℤ ℤ такого, что (p,p)∈R

р-р=0 . Так как 0∈ ℤ , то (p,p)∈ℤ .

2. Симметричность.

Из (n,k) ∈R следует, что существует такое р∈ ℤ , что n-k=mp ;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ , следовательно (k,n) ∈R .

3. Транзитивность.

Из того, что (n,k) ∈R , (k,q) ∈R следует, что существуют такие р 1 и р 2 ∈ ℤ , что n-k=mp 1 и k-q=mp 2 . Сложив данные выражения, получаем, что n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ . Поэтому (n,q) ∈ ℤ .

2.Рассмотрим множество Х всех направленных отрезков пространства или плоскости. =(А, В) . Введем отношение эквивалентности R на Х .

Пусть R – бинарное отношение на множестве X. Отношение R называется рефлексивным , если (x, x) Î R для всех x Î X; симметричным – если из (x, y) Î R следует (y, x) Î R; транзитивным числу 23 соответствует вариант 24 если (x, y) Î R и (y, z) Î R влекут (x, z) Î R.

Пример 1

Будем говорить, что x Î X имеет общее с элементом y Î X, если множество
x Ç y не пусто. Отношение иметь общее будет рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.

Отношением эквивалентности на X называется рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Легко видеть, что R Í X ´ X будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда имеют место включения:

Id X Í R (рефлексивность),

R -1 Í R (симметричность),

R ° R Í R (транзитивность).

В действительности эти три условия равносильны следующим:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Разбиением множества X называется множество А попарно непересекающихся подмножеств a Í X таких, что UA = X. С каждым разбиением А можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого a Î A.

Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение А, элементами которого являются подмножества, каждое из которых состоит из находящихся в отношении ~. Эти подмножества называются классами эквивалентности . Это разбиение А называется фактор-множеством множества X по отношению ~ и обозначается: X/~.

Определим отношение ~ на множестве w натуральных чисел, полагая x ~ y, если остатки от деления x и y на 3 равны между собой. Тогда w/~ состоит из трёх классов эквивалентности, соответствующих остаткам 0, 1 и 2.

Отношение порядка

Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным , если из x R y и y R x следует: x = y. Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Легко видеть, что это равносильно выполнению следующих условий:

1) Id X Í R (рефлексивность),

2) R Ç R -1 (антисимметричность),

3) R ° R Í R (транзитивность).

Упорядоченная пара (X, R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X, называется частично упорядоченным множеством .

Пример 1

Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Поскольку R удовлетворяет условиям 1 – 3, то (X, R) – частично упорядоченное множество. Для элементов x = 2, y = 3, неверно ни x R y, ни y R x. Такие элементы называют несравнимыми . Обычно отношение порядка обозначают £. В приведенном примере 0 £ 1 и 2 £ 2, но неверно, что 2 £ 3.

Пример 2

Пусть < – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Элементы x, y Î X частично упорядоченного множества (X, £) называются сравнимыми , если x £ y либо y £ x.

Частично упорядоченное множество (X, £) называется линейно упорядоченным или цепью , если любые два его элемента сравнимы. Множество из примера 2 будет линейно упорядоченным, а из примера 1 – нет.

Подмножество A Í X частично упорядоченного множества (X, £) называется ограниченным сверху , если существует такой элемент x Î X, что a £ x для всех a Î A. Элемент x Î X называется наибольшим в X, если y £ x для всех y Î X. Элемент x Î X называется максимальным, если нет отличных от x элементов y Î X, для которых x £ y. В примере 1 элементы 2 и 3 будут максимальными, но не наибольшими. Аналогично определяются ограничение снизу подмножества, наименьший и минимальный элементы. В примере 1 элемент 0 будет и наименьшим и минимальным. В примере 2 этими свойствами также обладает 0, но в (w, £) нет ни наибольшего, ни максимального элемента.

Если отношение R обладает свойствами: рефлексивное симметричное транзитивное, т.е. является отношением эквивалентности (~ или ≡ или Е) на множестве M , то множество классов эквивалентности называется фактор множеством множества M относительно эквивалентности R и обозначается M/R

Здесь есть подмножество элементов множества M эквивалентных x , называемых классом эквивалентности .

Из определения фактор-множества следует, что оно является подмножеством булеана: .

Функция называется отождествлением и определяется следующим образом:

Теорема. Фактор-алгебра F n /~ изоморфна алгебре булевых функций B n

Доказательство .

Искомый изоморфизм ξ : F n / ~ → B n определяется по следующему правилу: классу эквивалентности ~(φ) сопоставляется функция f φ , имеющая таблицу истинности произвольной формулы из множества ~(φ) . Поскольку разным классам эквивалентности соответствуют различные таблицы истинности, отображение ξ инъективно, а так как для любой булевой функции f из В п найдется формула , представляющая функцию f, то отображение ξ сюръективно. Сохранение операций , 0, 1 при отображении ξ проверяется непосредственно. ЧТД.

По теореме о функциональной полноте каждой функции , не являющейся константой 0 , соответствует некоторая СДНФ ψ , принадлежащая классу ~(φ) = ξ -1 (f) формул, представляющих функцию f . Возникает задача нахождения в классе ~(φ) дизъюнктивной нормальной формы, имеющей наиболее простое строение.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций по дисциплине дискретная математика

Московский государственный строительный университет.. институт экономики управления и информационных систем в строительстве.. иэуис..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Предмет дискретной математики
Предмет дискретная (финитная, конечная) математика – направление математики, изучающее свойства дискретных структур, в то время как классическая (непрерывная) математика изучает свойства объ

Изоморфизм
Наука, изучающая алгебраические операции называется алгеброй. Это понятие по мере изучения курса будет конкретизироваться и углубляться. Алгебру интересует только вопрос, КАК действуе

Упражнения
1. Докажите, что изоморфное отображение всегда изотонно, а обратное утверждение неверно. 2. Запишите на языке множеств свою группу. 3. Запишите на языке множеств предметы, которые

Множество и элементы множества
В настоящее время существующие теории множеств различаются парадигматикой (системой взглядов) концептуального базиса и логических средств. Так, в качестве примера, можем привести две противоположны

Конечные и бесконечные множества
То, из чего состоит множество, т.е. объекты, образующие множество, называется его элементами. Элементы множества различны и отличаются друг от друга. Как видно из приведенных пример

Мощность множества
Мощность для конечного множества равна числу его элементов. Например, мощность универсума В(A) множества A мощностью n

А1A2A3| + … + |А1A2A3| + … + |А1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
Конечное множество А имеет мощность k, если оно равномощно отрезку 1.. k;:

Подмножество, собственное подмножество
После того как введено понятие множества, возникает задача конструирования новых множеств из уже имеющихся, то есть определить операции над множествами. Множество М",

Символический язык содержательных теорий множеств
В процессе изучения курса будем различать объектный язык теории множеств и метаязык, средствами которого изучается объектный язык. Под языком теории множеств будем понимать реляцион

Доказательство
Множество В бесконечно, значит,

Добавление и удаление элементов
Если А - множество, а х - элемент, причем, то элемент

Ограниченные множества. Границы множеств
Пусть на некотором множестве X задана числовая функция f(х). Верхней гранью (границей) функции f(х) называется такое число

Точная верхняя (нижняя) граница
Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Еs, всех нижних границ - через Еi. В случа

Точная верхняя (нижняя) граница множества
Если элемент z принадлежит пересечению множества E и множеству всех его верхних границ Es (соответственно нижних г

Основные свойства верхних и нижних границ
Пусть X - частично упорядоченное множество. 1. Если, то

Множество с атрибутивной точки зрения
Агрегатная точка зрения, в отличие от атрибутивной, является логически несостоятельной в том плане, что она приводит к парадоксам типа Рассела и Кантора (см. ниже). В рамках атрибутивной т

Структура
Частично упорядоченное множество X называется структурой, если в нем любое двухэлементное множество

Покрытие и разбиение множеств
Разбиением множества А называется семейство Аi

Бинарные отношения
Последовательность длины п, члены которой суть а1, .... аn, будем обозначать через {а1, .... а

Свойства бинарных отношений
Бинарное отношение R на множестве Хобладает следующими свойствами: (а) рефлексивно, если хRх

Тернарные отношения
Декартовым произведением XY

N-арные отношения
По аналогии с декартовым произведением двух множеств X,Y можно построить декартово произведение X

Отображения
Отображения – это некоторые связи между элементами множеств. Простейшими примерами отношений являются отношения принадлежности х

Соответствие
ПодмножествоSдекартового произведения называетсяn-арным соответствиeмэлементов множествMi. Формально

Функция
В основе всех разделов дискретной математики лежит понятие функции. Пусть Х -

Представление функции в терминах отношений
Функцией называется бинарное отношение f, если из и

Инъекция, сюръекция, биекция
При использовании термина «отображение» различают отображение ХвY и отображение Х на Y

Обратная функция
Для произвольных, определим

Частично упорядоченные множества
Множество S называется частично упорядоченным (ЧУМ), если на нем задано рефлексивное, транзитивной и антисимметричное бинарное отношение частичного порядка

Минимизации представления множества
Используя эти законы, рассмотрим задачу минимизации представления множества М с помощью операций

Перестановки
Дано множество A. Пусть A – конечное множество, состоящее из n элементов A = {a1, a2, …, a

Перестановки с повторениями
Пусть в множестве A имеются одинаковые (повторяющиеся) элементы. Перестановкой с повторениями состава (n1, n2, … ,nk

Размещения
Кортежи длины k (1≤k≤n), состоящие из различных элементов n-элементного множества A (кортежи отличаются од

Размещения с повторениями
Пусть во множестве A имеются одинаковые (повторяющиеся) элементы. Размещениями с повторениями из n элементов по k назы

Упорядоченное размещение
Разместим п объектов по m ящикам так, чтобы каждый ящик содержал бы последовательность, а не множество, как прежде, помещенных в нем объектов. Два

Сочетания
Из m-элементного множества A построим упорядоченное множество длины n, элементы которого являются размещениями с одними и тем

Сочетания с повторениями
Полученные формулы справедливы только, когда в множестве A нет одинаковых элементов. Пусть имеются элементы n видов и из них составляется кортеж из

Метод производящий функций
Этот метод используется для перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств. Исходным пунктом являются последовательность {ai} комбинатор

Алгебраическая система
Алгебраической системой A называется совокупность ‹M,O,R›, первая составляющая которой M есть непустое множество, вторая компонента O – множество

Замыкание и подалгебры
Подмножество называется замкнутым относительно операции φ, если

Алгебры с одной бинарной операцией
Пусть на множестве М задана одна бинарная операция. Рассмотрим порождаемые ею алгебры, но предварительно рассмотрим некоторые свойства бинарных операций. Бинарная о

Группоид
Алгебра вида <М, f2>называется группоидом. Если f2 - операция типа умножения (

Целые числа по модулю m
Дано кольцо целых чисел . Напомним. Алгебра <М,

Конгруэнции
Конгруэнцией на алгебре A = (Σ – сигнатура алгебры состоит только из функциональных символов) называется такое отношение эквивалентности

Элементы теории графов
Графы - математические объекты. Теория графов применяется в таких областях, как физика, химия, теория связи, проектирование ЭВМ, электротехника, машиностроение, архитектура, исследование о

Граф, вершина, ребро
Под неориентированным графом (или короче графом) будем понимать такую произвольную пару G = , что

Соответствие
Другое, употребляемое чаще описание ориентированного графа G состоит в задании множества вершин Х и соответствия Г, ко

Неориентированный граф
Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (неориентированный дубликат или неориен

Инцидентность, смешанный граф
Если ребро е имеет вид {и, v } или <и, v>, то будем говорить, что ребро е инцидентно вер

Обратное соответствие
Поскольку представляет собой множество таких вершин

Изоморфизм графов
Два графа G1 = и G2 = изоморфны (G

Путь, ориентированный маршрут
Путем (или ориентированным маршрутом) ориентированного графа называется последовательность дуг, в котор

Смежные дуги, смежные вершины, степень вершины
Дуги а = (хi, хj), хi ≠ хj, имеющие общие концевые вершины, н

Связность
Две вершины в графе называются связным, если существует соединяющая их простая цепь. Граф называется связным, если все его вершины связны. Теорема.

Граф со взвешенными дугами
Граф G = (N, A) называется взвешенным, если на множестве дуг A определена некоторая функция l: A → R, которую на

Матрица сильной связности
Матрица сильной связности: по диагонали ставим 1; заполняем строку X1 - если вершина достижима из X1 и X1 д

Деревья
Деревья важны не только потому, что они находят приложения в различных областях знаний, но и Вилу особого положения их в самой теории графов. Последнее вызвано предельной простотой строения деревье

В любом нетривиальном дереве имеются по крайней мере две висячие вершины
Доказательство Рассмотрим дерево G(V, Е). Дерево - связный граф, следовательно,

Теорема
Центр свободного дерева состоит из одной вершины или из двух смежных вершин: Z(G) = 0&k(G) = 1 → С(G) = К1

Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья
Ориентированные (упорядоченные) деревья являются абстракцией иерархических отношений, которые очень часто встречаются как в практической жизни, так и в математике и программировании. Дерево (ориент

Доказательство
1. Каждая дуга входит в какой-то узел. Из п. 2 определения 9.2.1 имеем: v

Упорядоченные деревья
Множества Т1,.. ., Тk в эквивалентном определении ордерева являются поддеревьями. Если относительный порядок поддеревьев Т1,.. .,

Бинарные деревья
Бинарное (или двоичное) дерево - это конечное множество узлов, которое либо пусто, либо состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев - левого и правого. Бинарное дерево не яв

Представление свободных деревьев
Для представления деревьев можно использовать те же приёмы, что и для представления графов общего вида - матрицы смежности и инциденций, списки смежности и другие. Но используя особенные свойства д

End for
Обоснование Код Прюфера действительно является представлением свободного дерева. Чтобы убедиться в этом, покажем, что если Т" - дерево

Представление бинарных деревьев
Всякое свободное дерево можно ориентировать, назначив один из узлов корнем. Всякое ордерево можно произвольно упорядочить. Для потомков одного узла (братьев) упорядоченного ордерева определено отно

Основные логические функции
Обозначим через E2 = {0, 1} – множество, состоящее из двух чисел. Числа 0 и 1 являются основными в дискретной мате

Булева функция
Булевой функцией от n аргументов x1, x2, … ,xn, называется функция f из n-ой степени множества

Двухэлементная булева алгебра
Рассмотрим множество Во = {0,1} и определим на нем операции, согласно таблицам ист

Таблицы булевых функций
Булева функция от n переменных может быть задана таблицей, состоящей из двух столбцов и 2n строк. В первом столбце перечисляются все наборы из B

F5 – повторение по y
f6 – сумма по модулю 2 f7

Порядок выполнения операций
Если в сложном выражении скобок нет, то операции надо выполнять в следующем порядке: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. Соглашения относительно расстановки скоПервая теорема Шеннона
Для решения задачи нахождения СДНФ и СКНФ, эквивалентных исходной формуле φ, предварительно рассмотрим разложения булевой функции f(x1, х2

Вторая теорема Шеннона
В силу принципа двойственности для булевых алгебр справедлива Теорема 6.4.3 (вторая теорема Шеннона). Любая булева функция f(x1, х2,...

Функциональная полнота
Теорема(о функциональной полноте). Для любой булевой функции f найдется формула φ, представляющая функцию f

Алгоритм нахождения сднф
Для нахождения СДНФ данную формулу нужно привести сначала к ДНФ, а затем преобразовать ее конъюнкты в конституенты единицы с помощью следующих действий: а) если в конъюнкт входит некоторая

Метод Квайна
Рассмотрим метод Квайна для нахождения МДНФ, представляющей данную булеву функцию. Определим следующие триоперации: - операция полного склеивания -

Каноническое представление логических функций
Каноническими формами логических (формул) функций называются выражения, имеющие стандартную форму булевой формулы такой, которая однозначно представляет логическую функцию. В алгебр

Системы булевых функций
Пусть даны булевы функции f(g1, g2, …, gm) и g1(x1, x2, …, xn), g2(x1

Базис Жегалкина
Примерю Рассмотрим систему. Она является полной, так как любая функция из стандартного базиса выражается чере

Теорема Поста
Теорема Поста устанавливает необходимые и достаточные условия полноты системы булевых функций. (Post E.L. The two-valued interactive systems of mathematical logic. – Annals of Math. Stu

Доказательство
Необходимость. От противного. Пусть и

Алгебра Жегалкина
Сумма по модулю 2, конъюнкция и константы 0 и 1 образуют функционально полную систему, т.е. образуют алгебру - алгебру Жегалкина. A =

Логика высказываний
Математическая логика изучает базовые понятия синтак­сиса (формы) и семантики (содержания) естественного языка. Рассмотрим три крупных направления исследований в матема­тической логике - логику

Определение предиката
Пусть Х1, Х2, ..., Хп произвольные переменные. Эти переменные будем называть предметными. Пусть наборы переменных вы

Применение предикатов в алгебре
Рассмотрим предикаты, в которых свободной является лишь одна переменная, которую обозначим через х, и обсудим применение предикатов в алгебре. Типичным приме

Булева алгебра предикатов
Так как к предикатам можно применять логические операции, то для них справедливы основные законы булевой алгебры. Теорема. (Свойства логических операций для предикатов). Мн

F↔G=(F→G)(G→F), F→G=неFG
2. Использовать закон ненеF=F, законы де Моргана: не(F

Исчисление предикатов
Исчисление предикатов называют еще теорий первого порядка. В исчислении предикатов, так же как и в исчислении высказываний, на первом по важности месте стоит проблема разрешимост

Следование и эквиваленция
Высказывательная форма Q2 следу­ет из высказывательной формы Q1, если импликация Q1→Q2 об­ращается в истинное выс

Принятые обозначения
Символы «порядка не более». При сравнении скорости роста двух функций f(n) и g(n) (с неотрицательными значениями) очень удобны следующи

Метаобозначения
Обозна-чения Содержание Пример ИЛИ

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 тогда и только тогда, когда f биективна.

Теорема 1.5. Композиция биективных функций является функцией биективной.

Рис. 1.12 показывают различные отношения, все они, кроме первой, являются функциями.

отношение, но

инъекция, но

сюръекция, но

не функция

не сюръекция

не инъекция

Пусть f : А→ В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n , B = m . Принцип Дирихле гласит, что если n > m , то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза. Иными словами, найдется пара элементов a i ≠ a j , a i , a j A, для которых f(a i )= f(a j ).

Принцип Дирихле легко доказать, поэтому оставляем его читателю в качестве тривиального упражнения. Рассмотрим пример. Пусть в группе более 12 студентов. Тогда, очевидно, что, по крайней мере, у двоих из них день рождения в одном и том же месяце.

§ 7. Отношение эквивалентности. Фактор- множество

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение равенства на множестве чисел обладает указанными свойствами, поэтому является отношением эквивалентности.

Отношение подобия треугольников, очевидно, является отношением эквивалентности.

Отношение нестрогого неравенства (≤ ) на множестве действительных чисел не будет отношением эквивалентности, ибо не является симметричным: из 3≤ 5 не следует, что 5≤ 3.

Классом эквивалентности (классом смежности) , порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R, называется подмножество тех х А, которые находятся в отношении R с а. Указанный класс эквивалентности обозначается через [ а] R , следовательно, имеем:

[ а] R = {х A: а, х R }.

Рассмотрим пример. На множестве треугольников введено отношение подобия. Ясно, что все равносторонние треугольники попадают в один смежный класс, ибо каждый из них подобен, например, треугольнику, все стороны которого имеют единичную длину.

Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А и [ а] R смежный класс, т.е. [ а] R = {х A: а, х R }, тогда:

1) для любого а А : [ а] R ≠ , в частности, а [ а] R ;

2) различные смежные классы не пересекаются;

3) объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А;

4) совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.

Доказательство. 1) В силу рефлексивности R получим, что для любого а, а А, имеем a,a R , следовательно а [ а] R и [ а] R ≠ ;

2) допустим, что [ а] R ∩ [b] R ≠ , т.е. существует элемент с из А и с [ а] R ∩ [b] R . Тогда из (cRa)&(cRb) в силу симметричности R получаем, что (аR с)&(cRb), а из транзитивности R имеем аRb.

Для любого х [ а] R имеем: (хRa)&(аRb) , тогда в силу транзитивности R получим хRb, т.е. х [b] R , поэтому [ а] R [b] R . Аналогично для любого у, у [b] R , имеем: (уRb)&(аRb) , а в силу симметричности R получим, что (уRb)&(bR а), затем, в силу транзитивности R, получим, что уR а, т.е. у [ а] R и

поэтому [b] R [ а] R . Из [ а] R [b] R и [b] R [ а] R получаем [ а] R = [b] R , т. е. если смежные классы пересекаются, то они совпадают;

3) для любого а, а А, как доказано, имеем а [ а] R , тогда, очевидно, что объединение всех смежных классов совпадет с множеством А.

Утверждение 4) теоремы 1.6 следует из 1)-3). Теорема доказана. Можно доказать следующую теорему.

Теорема 1.7 . Различные отношения эквивалентности на множестве А порождают различные разбиения А.

Теорема 1.8 . Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на множестве A , причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.

Доказательство. Пусть дано разбиение В= {B i } множества A . Определим отношение R : а,b R тогда и только тогда, когда существует B i такое, что а и b оба принадлежат этому B i . Очевидно, что введенное отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, следовательно, R – отношение эквивалентности. Можно показать, что если разбиения различны, то и отношения эквивалентности, ими порождаемые, тоже различны.

Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор- множеством и обозначается через А/R . Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [ а] R , как известно, состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R .

Рассмотрим пример отношения эквивалентности на множестве целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Два целых числа а и b называют сравнимыми (конгруэнтными) по модулю m , если m делитель числа a-b , т. е. если имеем:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

В этом случае записывают a≡ b(mod m) .

Теорема 1.9. Для любых чисел a , b , c и m>0 имеем:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) если a ≡ b(mod m), то b ≡ a(mod m);

3) если a ≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), то a ≡ c(mod m).

Доказательство. Утверждения 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Пусть a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , тогда a=c+(k 1 +k 2 )m , т.е. a ≡ c(mod m) . Теорема доказана.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности и делит множество целых чисел на непересекающиеся классы чисел.

Построим бесконечно раскручивающуюся спираль, которая на рис. 1.13 изображена сплошной линией, и бесконечно скручивающуюся спираль, изображенную штриховой линией. Пусть задано целое неотрицательное число m . Все целые числа (элементы из множества Z ) расположим в точках пересечения этих спиралей с m лучами, как показано на рис. 1.13.

Для отношения сравнимости по модулю m (в частности и для m =8) класс эквивалентности – это числа, лежащие на луче. Очевидно, что каждое число попадает в один и только один класс. Можно получить, что для m= 8 имеем:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Фактор-множество множества Z по отношению сравнения по модулю m обозначается как Z/m или как Z m . Для рассматриваемого случая m =8

получим, что Z/8 = Z8 = { , , , …, } .

Теорема 1.10. Для любых целых a, b, a * , b * , k и m :

1) если a ≡ b(mod m), то ka ≡ kb(mod m);

2) если a ≡ b(mod m) и a* ≡ b* (mod m), то:

а) a+а * ≡ b+b* (mod m); б) аа * ≡ bb* (mod m).

Доказательство приведем для случая 2б). Пусть a ≡ b(mod m) и a * ≡ b * (mod m) , тогда a=b+sm и a * =b * +tm для некоторых целых s и t . Перемножив,

получим: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Следовательно,

aa* ≡ bb* (mod m).

Таким образом, сравнения по модулю можно почленно складывать и умножать, т.е. оперировать точно также как и с равенствами. Например,