Равновесие твердого тела теоретическая механика. Основные законы и формулы по теоретической механике

• Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М.. Руководство к решению задач по теоретической механике (6-е издание). М.: Высшая школа, 1968 (djvu)
• Айзерман М.А. Классическая механика (2-е изд.). М.: Наука, 1980 (djvu)
• Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика твердого тела. Лекции. М.: Физфак МГУ, 1997 (djvu)
• Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела, МФТИ, 2000 (pdf)
• Аппель П. Теоретическая механика. Том 1. Статистика. Динамика точки. М.: Физматлит, 1960 (djvu)
• Аппель П. Теоретическая механика. Том 2. Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Физматлит, 1960 (djvu)
• Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. Успехи математических наук т. XVIII, вып. 6 (114), с91-192, 1963 (djvu)
• Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985 (djvu)
• Баринова М.Ф., Голубева О.В. Задачи и упражнения по классической механике. М.: Высш. школа, 1980 (djvu)
• Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 1: Статика и кинематика (5-е издание). М.: Наука, 1967 (djvu)
• Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 2: Динамика (3-е издание). М.: Наука, 1966 (djvu)
• Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 3: Специальные главы мехники. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Бекшаев С.Я., Фомин В.М. Основы теории колебаний. Одесса: ОГАСА, 2013 (pdf)
• Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. М.: Высш. школа, 1964 (djvu)
• Березкин Е.Н. Курс теоретической механики (2-е изд.). М.: Изд. МГУ, 1974 (djvu)
• Березкин Е.Н. Теоретическая механика. Методические указания (3-е изд.). М.: Изд. МГУ, 1970 (djvu)
• Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике, часть 1. М.: Изд. МГУ, 1973 (djvu)
• Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике, часть 2. М.: Изд. МГУ, 1974 (djvu)
• Березова О.А., Друшляк Г.Е., Солодовников Р.В. Теоретическая механика. Сборник задач. Киев: Вища школа, 1980 (djvu)
• Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1980 (djvu)
• Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наук. думка, 1969 (djvu)
• Бражниченко Н.А., Кан В.Л. и др. Сборник задач по теоретической механике (2-е издание). М.: Высшая школа, 1967 (djvu)
• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Том 1. Статика и кинематика (3-е издание). М.: Наука, 1979 (djvu)
• Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Том 2. Динамика (2-е издание). М.: Наука, 1979 (djvu)
• Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 1: Кинематика, статика, динамика материальной точки (6-е издание). М.: Наука, 1965 (djvu)
• Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 2: Динамика системы материальных точек (4-е издание). М.: Наука, 1966 (djvu)
• Бухгольц Н.Н., Воронков И.М., Минаков А.П. Сборник задач по теоретической механике (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 (djvu)
• Валле-Пуссен Ш.-Ж. Лекции по теоретической механике, том 1. М.: ГИИЛ, 1948 (djvu)
• Валле-Пуссен Ш.-Ж. Лекции по теоретической механике, том 2. М.: ГИИЛ, 1949 (djvu)
• Вебстер А.Г. Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел (лекции по математической физике). Л.-М.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Веретенников В.Г., Синицын В.А. Метод переменного действия (2-е издание). М.: Физматлит, 2005 (djvu)
• Веселовский И.Н. Динамика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941 (djvu)
• Веселовский И.Н. Сборник задач по теоретической механике. М.: ГИТТЛ, 1955 (djvu)
• Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980 (djvu)
• Воронков И.М. Курс теоретической механики (11-е издание). М.: Наука, 1964 (djvu)
• Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976 (djvu)
• Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966 (2-е издание) (djvu)
• Гернет М.М. Курс теоретической механики. М.: Высш.школа (3-е издание), 1973 (djvu)
• Геронимус Я.Л. Теоретическая механика (очерки об основных положениях). М.: Наука, 1973 (djvu)
• Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: АН СССР, 1959 (djvu)
• Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957 (djvu)
• Голубева О.В. Теоретическая механика. М.: Высш. школа, 1968 (djvu)
• Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976 (djvu)
• Жирнов Н.И. Классическая механика. М.: Просвещение, 1980 (djvu)
• Жуковский Н.Е. Теоретическая механика (2-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1952 (djvu)
• Журавлев В.Ф. Основания механики. Методические аспекты. М.: Институт проблем механики РАН (препринт N 251), 1985 (djvu)
• Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики (2-е издание). М.: Физматлит, 2001 (djvu)
• Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988 (djvu)
• Зубов В.И., Ермолин В.С. и др. Динамика свободного твердого тела и определение его ориентации в пространстве. Л.: ЛГУ, 1968 (djvu)
• Зубов В.Г. Механика. Серия "Начала физики". М.: Наука, 1978 (djvu)
• История механики гироскопических систем. М.: Наука, 1975 (djvu)
• Ишлинский А.Ю. (ред.). Теоретическая механика. Буквенные обозначения величин. Вып. 96. М: Наука, 1980 (djvu)
• Ишлинский А.Ю., Борзов В.И., Степаненко Н.П. Сборник задач и упражнений по теории гироскопов. М.: Изд-во МГУ, 1979 (djvu)
• Кабальский М.М., Кривошей В.Д., Савицкий Н.И., Чайковский Г.Н. Типовые задачи по теоретической механике и методы их решения. Киев: ГИТЛ УССР, 1956 (djvu)
• Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т.1: кинематика, статика, динамика точки, (2-е изд.), М.: Наука, 1977 (djvu)
• Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т.2: динамика системы, аналитическая механика, элементы теории потенциала, мехаиики сплошной среды, специальной и общей теории относительности, М.: Наука, 1977 (djvu)
• Кирпичев В.Л. Беседы о механике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Климов Д.М. (ред.). Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003 (djvu)
• Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела (2-е изд.). Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000 (djvu)
• Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995 (djvu)
• Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. Часть I. М.: Просвещение, 1965 (djvu)
• Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. Часть II. М.: Просвещение, 1966 (djvu)
• Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике (2-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
• Крагельский И.В., Щедров В.С. Развитие науки о трении. Сухое трение. М.: АН СССР, 1956 (djvu)
• Лагранж Ж. Аналитическая механика, том 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Лагранж Ж. Аналитическая механика, том 2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Ламб Г. Теоретическая механика. Том 2. Динамика. М.-Л.: ГТТИ, 1935 (djvu)
• Ламб Г. Теоретическая механика. Том 3. Более сложные вопросы. М.-Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
• Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 1, часть 1: Кинематика, принципы механики. М.-Л.: НКТЛ СССР, 1935 (djvu)
• Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 1, часть 2: Кинематика, принципы механики, статика. М.: Из-во иностр. литературы, 1952 (djvu)
• Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 2, часть 1: Динамика систем с конечным числом степеней свободы. М.: Из-во иностр. литературы, 1951 (djvu)
• Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 2, часть 2: Динамика систем с конечным числом степеней свободы. М.: Из-во иностр. литературы, 1951 (djvu)
• Лич Дж.У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961 (djvu)
• Лунц Я.Л. Введение в теорию гироскопов. М.: Наука, 1972 (djvu)
• Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961 (djvu)
• Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992 (djvu)
• Маркеев А.П. Теоретическая механика, 2-е издание. Ижевск: РХД, 1999 (djvu)
• Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наук. думка, 1975 (djvu)
• Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980 (djvu)
• Механика в СССР за 50 лет. Том 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1968 (djvu)
• Метелицын И.И. Теория гироскопа. Теория устойчивости. Избранные труды. М.: Наука, 1977 (djvu)
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (34-е издание). М.: Наука, 1975 (djvu)
• Мисюрев М.А. Методика решения задач по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1963 (djvu)
• Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967 (djvu)
• Некрасов А.И. Курс теоретической механики. Том 1. Статика и кинематика (6-е изд.) М.: ГИТТЛ, 1956 (djvu)
• Некрасов А.И. Курс теоретической механики. Том 2. Динамика (2-е изд.) М.: ГИТТЛ, 1953 (djvu)
• Николаи Е.Л. Гироскоп и некоторые его технические применения в общедоступном изложении. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947 (djvu)
• Николаи Е.Л. Теория гироскопов. Л.-М.: ГИТТЛ, 1948 (djvu)
• Николаи Е.Л. Теоретическая механика. Часть I. Статика. Кинематика (издание двадцатое). М.: ГИФМЛ, 1962 (djvu)
• Николаи Е.Л. Теоретическая механика. Часть II. Динамика (издание тринадцатое). М.: ГИФМЛ, 1958 (djvu)
• Новоселов В.С. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966 (djvu)
• Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: МГУ, 1978 (djvu)
• Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоретической механике для физиков. М.: МГУ, 1977 (djvu)
• Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Перельман Я.И. Занимательная механика (4-е издание). М.-Л.: ОНТИ, 1937 (djvu)
• Планк М. Введение в теоретическую физику. Часть первая. Общая механика (2-е издание). М.-Л.: ГТТИ, 1932 (djvu)
• Полак Л.С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959 (djvu)
• Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Пуанкаре А. Новая механика. Эволюция законов. М.: Современные проблемы: 1913 (djvu)
• Розе Н.В. (ред.) Теоретическая механика. Часть 1. Механика материальной точки. Л.-М.: ГТТИ, 1932 (djvu)
• Розе Н.В. (ред.) Теоретическая механика. Часть 2. Механика материальной системы и твердого тела. Л.-М.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Розенблат Г.М. Сухое трение в задачах и решениях. М.-Ижевск: РХД, 2009 (pdf)
• Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.-Ижевск: РХД, 2003 (pdf)
• Самсонов В.А. Конспект лекций по механике. М.: МГУ, 2015 (pdf)
• Сахарный Н.Ф. Курс теоретической механики. М.: Высш. школа, 1964 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 1. М.: Высш. школа, 1968 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 2. М.: Высш. школа, 1971 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 3. М.: Высш. школа, 1972 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 4. М.: Высш. школа, 1974 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 5. М.: Высш. школа, 1975 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 6. М.: Высш. школа, 1976 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 7. М.: Высш. школа, 1976 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 8. М.: Высш. школа, 1977 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 9. М.: Высш. школа, 1979 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 10. М.: Высш. школа, 1980 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 11. М.: Высш. школа, 1981 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 12. М.: Высш. школа, 1982 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 13. М.: Высш. школа, 1983 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 14. М.: Высш. школа, 1983 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 15. М.: Высш. школа, 1984 (djvu)
• Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 16. М.: Высш. школа, 1986

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики
• Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
• Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
• Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
• Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
• Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
• Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
• Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
• Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
• Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
  Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
• Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
• Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
• Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
  Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
  Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
• Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
• Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
• Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
• Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
• Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
• Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
• Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
• Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
  Принятое обозначение: .
• Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
• Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
  .
• Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
  .
• Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
• Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
  Принятое обозначение: .
  Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
• Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
  Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
• Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
• Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
  Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
• Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
  Эти две силы называются уравновешивающимися.
  Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
• Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
  Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
  Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
• Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
  диагонали.
  По модулю равнодействующая равна:
  
• Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
  Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
• Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
  Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
• Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики
• Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
• Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
• Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
• Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
  Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики
• Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
• Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
• Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
• Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
  
  где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
  В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
• Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
  Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
  .
  Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  
• Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
• Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
  где — ускорение центра масс тела.
• Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
  .
  Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
  .
• Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои

Перечень экзаменационных вопросов

1. Техническая механика, ее определение. Механическое движение и механическое взаимодействие. Материальная точка, механическая система, абсолютно твердое тело .

Техническая механика – наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел.

Механика является одной из самых древних наук. Термин «Механика» введен выдающимся философом древности Аристотелем.

Достижения ученых в области механики дают возможность решать сложные практические проблемы в области техники и по существу ни одно явление природы не может быть понято без уяснения его с механической стороны. И ни одно творение техники нельзя создать, не принимая в расчет те или иные механические закономерности.

Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела.

Механическое взаимодействие – это действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация).

Основные понятия:

Материальная точка – это тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Она обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами.

Механическая система – это совокупность материальных точек, положение и движение каждой из которых зависят от положения и движения других точек системы.

Абсолютно твердое тело (АТТ) – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.

1. Теоретическая механика и ее разделы. Задачи теоретической механики.

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором изучаются законы движения тел и общие свойства этих движений.

Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.

Статика рассматривает равновесие тел и их систем под действием сил.

Кинематика рассматривает общие геометрические свойства движения тел.

Динамика изучает движение тел под действием сил.

Задачи статики:

1. Преобразование систем сил, действующих на АТТ в системы им эквивалентные, т.е. приведение данной системы сил к простейшему виду.

2. Определение условий равновесия системы сил, действующих на АТТ.

Для решения этих задач используется два метода графический и аналитический.

1. Равновесие. Сила, система сил. Равнодействующая сила, сосредоточенная сила и распределенные силы.

Равновесие – это состояние покоя тела по отношению к другим телам.

Сила – это основная мера механического взаимодействия материальных тел. Является векторной величиной, т.е. Сила характеризуется тремя элементами:

Точкой приложения;

Линией действия (направлением);

Модулем (числовым значением).

Система сил – это совокупность всех сил действующих на рассматриваемое абсолютно твердое тело (АТТ)

Система сил называется сходящейся , если линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

Система называется плоской , если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, в противном случае пространственной.

Система сил называется параллельной , если линии действия всех сил параллельны друг другу.

Две системы сил называются эквивалентными , если одну систему сил действующих на абсолютно твердое тело можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела.

Уравновешенной или эквивалентной нулю называется система сил, под действием которой свободное АТТ может находится в покое.

Равнодействующей силой называется сила, действие которой на тело или материальную точку эквивалентно действию системы сил на это же тело.

Внешними силами

Сила, проложенная к телу в какой-либо одной его точке называется сосредоточенной .

Силы, действующие на все точки некоторого объема или поверхности называются распределенными .

Тело, которому никакие другие тела не препятствуют перемещению в любом направлении называется свободным.

1. Внешние и внутренние силы. Свободное и несвободное тело. Принцип освобождаемости от связей.

Внешними силами называются силы, с которыми части данного тела действуют друг на друга.

При решении большинства задач статики требуется несвободное тело представить как свободное, что осуще­ствляется с помощью принципа освобожда­ем о с т и, который формулируется так:

всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.

В результате применения этого принципа получается тело, свободное от связей и находящееся под действием некоторой системы активных и реактивных сил.

1. Аксиомы статики.

Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводятся из нескольких основных положений, принимаемых без доказательств, но подтвержденных опытами, и называемых аксиомами статики. Основные ак­сиомы статики сформулированы английским ученым Нью­тоном (1642-1727), и поэтому они названы его именем.

Аксиома I (аксиома инерции или первый закон Нью­тона).

Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или пря­молинейного равномерного движения, пока какие-нибудь Силы не выведут его из этого состояния.

Способность тела сохранять свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения называется инерцией. На основании этой аксиомы состоянием равно­весия считаем такое состояние, когда тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно (т. е. ПО инерции).

Аксиома II (аксиома взаимодействия или третий закон Ньютона).

Если одно тело действует на второе с некоторой силой, то второе тело одновременно действует на первое с силой, равной по модулю, ко противоположной по направлению.

Совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел), называется системой сил. Сила действия какого-либо тела на данное тело и сила противодействия данного тела не представляют собой систему сил, так как они приложены к различным телам.

Если какая-нибудь система сил обладает таким свой­ством, что после приложения к свободному телу она не изменяет его состояние равновесия, то такая система сил называется уравновешенной.

Аксиома III (условие равновесия двух сил).

Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.

необходимым для равновесия двух сил. Это значит, что если система двух сил находится в равновесии, то эти силы должны быть равны по модулю и действовать по одной прямой в противоположные стороны.

Условие, сформулированное в этой аксиоме, является достаточным для равновесия двух сил. Это значит, что справедлива обратная формулировка аксиомы, а именно: если две силы равны по модулю и действуют по одной пря­мой в противоположные стороны, то такая система сил обязательно находится в равновесии.

В дальнейшем мы познакомимся с условием равновесия, которое будет необходимо, но не достаточно для равно­весия.

Аксиома IV .

Равновесие твердого тела не нарушится, если к нему приложить или удалить систему уравновешенных сил.

Следствие из аксиом III и IV .

Равновесие твердого тела не нарушится от перенесения силы вдоль линии ее действия.

Аксиома параллело­грамма. Эта аксиома формули­руется так:

Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.

1. Связи, реакции связей. Примеры связей.

Связями называются тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве. Сила, с которой тело дей­ствует на связь, называется давлением; сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией. Согласно аксиоме взаимодействия реакция и давление по модулю равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Реакция и давление приложены к различным телам. Внешние силы, действующие на тело, делятся на ак­тивные и реактивные. Активные силы стремятся пере­мещать тело, к которому они приложены, а реактивные силыпосредством связей препятствуют этому перемеще­нию. Принципиальное отличие активных сил от реактив­ных заключается в том, что величина реактивных сил, во­обще говоря, зависит от величины активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют

Направление реакций определяется тем, в каком на­правлении данная связь препятствует, перемещению тела. Правило для определения направления реакций можно сформулировать так:

направление реакции связи противоположно направле­нию перемещения, уничтожаемого данной связью.

1. Идеально гладкая плоскость

В этом случае реакция R направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела.

2. Идеально гладкая поверхность (рис. 16).

В этом случае реакция R направлена перпендикулярно к касательной пло­скости t - t, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела.

3. Закрепленная точка или ребро угла (рис. 17, ребро В).

В этом случае реакция R в направлена по нормали к поверхности идеально-гладкого тела в сторону тела.

4. Гибкая связь (рис. 17).

Реакция Т гибкой связи направ­лена вдоль с в я з и . Из рис. 17 видно, что гибкая связь, перекинутая через блок, изменяет направление передаваемого усилия.

5. Идеально гладкий цилиндриче­ский шарнир (рис. 17, шарнир А; рис. 18, подшип­ник D).

В этом случае заранее известно только, что реакция R проходит через ось шарнира и перпендикулярна к этой оси.

6. Идеально гладкий подпятник (рис. 18, подпятник А).

Подпятник можно рассматривать как сочетание цилин­дрического шарнира и опорной плоскости. Поэтому будем

7. Идеально гладкий шаровой шарнир (рис. 19).

В этом случае заранее известно только, что реакция R проходит через центр шарнира.

8. Стержень, закрепленный двумя концами в идеально гладких шарни­рах и нагруженный только по концам (рис. 18, стержень ВС).

В этом случае реакция стержня направ­лена вдоль стержня, так как, согласно акси­оме III, реакции шарниров В и С при равновесии стержня могут быть направлены только по линии ВС, т. е. вдоль стержня.

1. Система сходящихся сил. Сложение сил, приложенных в одной точке.

Сходящимися называют силы, линии действия ко­торых пересекаются в одной точке.

В настоящей главе рассматриваются системы сходящихся сил, линии действия которых лежат в одной плоскости (плоские системы).

Представим, что на тело действует плоская система пяти сил, линии действия которых пересекаются в точке О (рис. 10, а). В § 2 было установлено, что сила-скользя­щий вектор . Поэтому все силы можно из точек их при­ложения перенести точку О пересечения линий их действия (рис. 10, б).

Таким образом, любую систему сходящихся сил, приложенных к различным точкам тела, можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных к одной точке. Такую систему сил часто называют пучком сил .

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил, а также методы преобразования сил в эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Сила , действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек - это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
,
где m - масса точки - величина, зависящая от свойств самой точки. Эта формула называется вторым законом Ньютона.

Применение статики в динамике

Важной особенностью уравнений движения абсолютно твердого тела является то, что силы можно преобразовывать в эквивалентные системы. При таком преобразовании уравнения движения сохраняют свой вид, но систему сил, действующую на тело можно преобразовать в более простую систему. Так, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии ее действия; силы можно раскладывать по правилу параллелограмма; силы, приложенные в одной точке можно заменять их геометрической суммой.

Примером таких преобразований является сила тяжести. Она действует на все точки твердого тела. Но закон движения тела не изменится, если распределенную по всем точкам силу тяжести заменить одним вектором, приложенным в центре масс тела.

Оказывается, что если мы к основной системе сил, действующих на тело, добавим эквивалентную систему, в которой направления сил изменены на противоположные, то тело, под действием этих систем, будет находиться в равновесии. Таким образом, задача по определению эквивалентных систем сил сводится к задаче на равновесие, то есть к задаче статики.

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Таким образом, методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Статика материальной точки

Рассмотрим материальную точку, которая находится в равновесии. И пусть на нее действуют n сил , k = 1, 2, ..., n .

Если материальная точка находится в равновесии, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:
(1) .

В равновесии геометрическая сумма сил, действующих на точку, равна нулю.

Геометрическая интерпретация . Если в конец первого вектора поместить начало второго вектора , а в конец второго вектора поместить начало третьего , и далее продолжать этот процесс, то конец последнего, n -го вектора окажется совмещенным с началом первого вектора. То есть мы получим замкнутую геометрическую фигуру, длины сторон которой равны модулям векторов . Если все векторы лежат в одной плоскости, то мы получим замкнутый многоугольник.

Часто бывает удобным выбрать прямоугольную систему координат Oxyz . Тогда суммы проекций всех векторов сил на оси координат равны нулю:

Если выбрать любое направление, задаваемое некоторым вектором , то сумма проекций векторов сил на это направление равна нулю:
.
Умножим уравнение (1) скалярно на вектор :
.
Здесь - скалярное произведение векторов и .
Заметим, что проекция вектора на направление вектора определяется по формуле:
.

Статика твердого тела

Момент силы относительно точки

Определение момента силы

Моментом силы , приложенной к телу в точке A , относительно неподвижного центра O , называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2) .

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы и расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Абсолютное значение момента:
.
Поскольку , то
(3) .

Используя геометрию, можно дать другую интерпретацию момента силы. Для этого проведем прямую AH через вектор силы . Из цента O опустим перпендикуляр OH на эту прямую. Длину этого перпендикуляра называют плечом силы . Тогда
(4) .
Поскольку , то формулы (3) и (4) эквивалентны.

Таким образом, абсолютное значение момента силы относительно центра O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранного центра O .

При вычислении момента часто бывает удобным разложить силу на две составляющие:
,
где . Сила проходит через точку O . Поэтому ее момент равен нулю. Тогда
.
Абсолютное значение момента:
.

Компоненты момента в прямоугольной системе координат

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O , то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Здесь - координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O , от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.

Пара сил

Пара сил - это две силы, равные по абсолютной величине и имеющие противоположные направления, приложенные к разным точкам тела.

Пара сил характеризуется моментом , который они создают. Поскольку векторная сумма сил, входящих в пару равна нулю, то создаваемый парой момент не зависит от точки, относительно которой вычисляется момент. С точки зрения статического равновесия, природа сил, входящих в пару, не имеет значения. Пару сил используют для того, чтобы указать, что на тело действует момент сил, имеющий определенное значение .

Момент силы относительно заданной оси

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Моментом силы относительно оси, проходящей через точку O - это проекция вектора момента силы, относительно точки O , на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось равен нулю.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Вычисление момента силы относительно оси

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′ .

Построим прямоугольную систему координат. Пусть ось Oz совпадает с O′O′′ . Из точки A опустим перпендикуляр OH на O′O′′ . Через точки O и A проводим ось Ox . Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy . Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′ . Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′ . Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (5.3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O . Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия твердого тела

В равновесии векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно произвольного неподвижного центра равна нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Подчеркнем, что центр O , относительно которого вычисляются моменты сил можно выбирать произвольным образом. Точка O может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр O выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми.

Условия равновесия можно сформулировать и другим способом.

В равновесии сумма проекций сил на любое направление, задаваемое произвольным вектором , равна нулю:
.
Также равна нулю сумма моментов сил относительно произвольной оси O′O′′ :
.

Иногда такие условия оказываются более удобными. Бывают случаи, когда за счет выбора осей, можно сделать вычисления более простыми.

Центр тяжести тела

Рассмотрим одну из важнейших сил - силу тяжести. Здесь силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его объему. На каждый участок тела с бесконечно малым объемом Δ V , действует сила тяготения . Здесь ρ - плотность вещества тела, - ускорение свободного падения.

Пусть - масса бесконечно малого участка тела. И пусть точка A k определяет положение этого участка. Найдем величины, относящиеся к силе тяжести, которые входят в уравнения равновесия (6).

Найдем сумму сил тяжести, образованную всеми участками тела:
,
где - масса тела. Таким образом, сумму сил тяжести отдельных бесконечно малых участков тела можно заменить одним вектором силы тяжести всего тела:
.

Найдем сумму моментов сил тяжести, относительно произвольным способом выбранного центра O :

.
Здесь мы ввели точку C , которая называется центром тяжести тела. Положение центра тяжести, в системе координат с центром в точке O , определяется по формуле:
(7) .

Итак, при определении статического равновесия, сумму сил тяжести отдельных участков тела можно заменить равнодействующей
,
приложенной к центру масс тела C , положение которого определяется формулой (7).

Положение центра тяжести для различных геометрических фигур можно найти в соответствующих справочниках. Если тело имеет ось или плоскость симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или плоскости. Так, центры тяжести сферы, окружности или круга находятся в центрах окружностей этих фигур. Центры тяжести прямоугольного параллелепипеда, прямоугольника или квадрата также расположены в их центрах - в точках пересечения диагоналей.

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Также встречаются подобные силе тяжести случаи, когда силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или .

(рисунок А). Также, как и в случае с силой тяжести, ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку на рисунке А эпюра представляет собой прямоугольник, то центр тяжести эпюры находится в ее центре - точке C : | AC| = | CB| .

(рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h , находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Силы трения

Трение скольжения . Пусть тело находится на плоской поверхности. И пусть - сила, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело (сила давления). Тогда сила трения скольжения параллельна поверхности и направлена в сторону, препятствуя движению тела. Ее наибольшая величина равна:
,
где f - коэффициент трения. Коэффициент трения является безразмерной величиной.

Трение качения . Пусть тело округлой формы катится или может катиться по поверхности. И пусть - сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело. Тогда на тело, в точке соприкосновения с поверхностью, действует момент сил трения, препятствующий движению тела. Наибольшая величина момента трения равна:
,
где δ - коэффициент трения качения. Он имеет размерность длины.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики.

В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.

Информационные ресурсы

Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.
Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

Требования

Курс рассчитан на студентов владеющих аппаратом аналитической геометрии и линейной алгебры в объеме программы первого курса технического вуза.

Программа курса

1. Кинематика точки
1.1. Задачи кинематики. Декартова система координат. Разложение вектора по ортонормированному базису. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки. Траектория движения.
1.2. Естественный трёхгранник. Разложение скорости и ускорения в осях естественного трехгранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволинейные координаты точки, примеры: полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной системы координат.

2. Способы задания ориентации твердого тела
2.1. Твердое тело. Неподвижная и связанная с телом системы координат.
2.2. Ортогональные матрицы поворота и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.
2.3. Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов.
2.4. Углы конечного вращения: углы Эйлера и "самолетные" углы. Выражение ортогональной матрицы через углы конечного вращения.

3. Пространственное движение твердого тела
3.1. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.
3.2. Распределение скоростей (формула Эйлера) и ускорений (формула Ривальса) точек твердого тела.
3.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

4. Плоскопараллельное движение
4.1. Понятие плоскопараллельного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение в случае плоскопараллельного движения. Мгновенный центр скоростей.

5. Сложное движение точки и твердого тела
5.1. Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное движения точки.
5.2. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки, относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
5.3. Абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела.

6. Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение)
6.1. Понятие о комплексных и гиперкомплексных числах. Алгебра кватернионов. Кватернионное произведение. Сопряженный и обратный кватернион, норма и модуль.
6.2. Тригонометрическое представление единичного кватерниона. Кватернионный способ задания поворота тела. Теорема Эйлера о конечном повороте.
6.3. Связь между компонентами кватерниона в разных базисах. Сложение поворотов. Параметры Родрига-Гамильтона.

7. Экзаменационная работа

8. Основные понятия динамики.
8.1 Импульс, момент импульса (кинетический момент), кинетическая энергия.
8.2 Мощность сил, работа сил, потенциальная и полная энергия.
8.3 Центр масс (центр инерции) системы. Момент инерции системы относительно оси.
8.4 Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.
8.5 Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.
8.6 Вычисление момента импульса и кинетической энергии тела с помощью тензора инерции.

9. Основные теоремы динамики в инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.
9.1 Теорема об изменении импульса системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.
9.2 Теорема об изменении момента импульса системы в инерциальной системе отсчета.
9.3 Теорема об изменении кинетической энергии системы в инерциальной системе отсчета.
9.4 Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы.
9.5 Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.

10. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции.
10.1 Динамические уравнения Эйлера.
10.2 Случай Эйлера, первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения.
10.3 Интерпретации Пуансо и Маккулага.
10.4 Регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела.

11. Движение тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.
11.1 Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг.
неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера и их первые интегралы.
11.2 Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.
11.3 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела.
11.4 Основная формула гироскопии.
11.5 Понятие об элементарной теории гироскопов.

12. Динамика точки в центральном поле.
12.1 Уравнение Бине.
12.2 Уравнение орбиты. Законы Кеплера.
12.3 Задача рассеяния.
12.4 Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, интеграл энергии, интеграл Лапласа.

13. Динамика систем переменного состава.
13.1 Основные понятия и теоремы об изменении основных динамических величин в системах переменного состава.
13.2 Движение материальной точки переменной массы.
13.3 Уравнения движения тела переменного состава.

14. Теория импульсивных движений.
14.1 Основные понятия и аксиомы теории импульсивных движений.
14.2 Теоремы об изменении основных динамических величин при импульсивном движении.
14.3 Импульсивное движение твёрдого тела.
14.4 Соударение двух твёрдых тел.
14.5 Теоремы Карно.

15. Контрольная работа

Результаты обучения

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

• Знать:
  • основные понятия и теоремы механики и вытекающие из них методы изучения движения механических систем;
• Уметь:
  • корректно формулировать задачи в терминах теоретической механики;
  • разрабатывать механико-математические модели, адекватно отражающие основные свойства рассматриваемых явлений;
  • применять полученные знания для решения соответствующих конкретных задач;
• Владеть:
  • навыками решения классических задач теоретической механики и математики;
  • навыками исследования задач механики и построения механико-математических моделей, адекватно описывающих разнообразные механические явления;
  • навыками практического использования методов и принципов теоретической механики при решении задач: силового расчета, определения кинематических характеристик тел при различных способах задания движения, определения закона движения материальных тел и механических систем под действием сил;
  • навыками самостоятельно овладевать новой информацией в процессе производственной и научной деятельности, используя современные образовательные и информационные технологии;