Теоретическая механика динамика реального тела. Динамика системы тел

Рассмотрим движение некоторой системы материальных томен относительно неподвижной системы координат Когда система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если отбросить наложенные на систему связи и заменить их действие соответствующими реакциями.

Разобьем все силы, приложенные к системе, на внешние и внутренние; в те и другие могут входить реакции отброшенных

связей. Через и обозначим главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки А.

1. Теорема об изменении количества движения. Если - количество движения системы, то (см. )

т. е. справедлива теорема: производная по времени от количества движения системы равняется главному вектору всех внешних сил.

Заменяя вектор через его выражение где - масса-системы, - скорость центра масс, уравнению (4.1) можно придать другую форму:

Это равенство означает, что центр масс системы движется, как материальная точкащ масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, геометрически равная главному вектору всех внешних сил системы. Последнее утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции) системы.

Если то из (4.1) следует, что вектор количества движения постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим три скалярных первых интеграла, дифференциальных уравнений двнзкепня системы:

Эти интегралы носят назвапие интегралов количества движения. При скорость центра масс постоянна, т. е. он движется равномерно и прямолинейно.

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо одну ось, например на ось равна нулю, то имеем один первый интеграл или если же равны нулю» две проекции главного вектора, то существует два интеграла количества движения.

2. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А - некоторая произвольная точка пространства (движущаяся или неподвижная), которая не обязательно совпадает с какой-либо определенной материальной точкой системы во все время движения. Ее скорость в неподвижной спстеме координат обозначим через Теорема об изменении кинетического момента материальной системы относительно точки А имеет вид

Если точка А неподвижна, то и равенство (4.3) принимает более простой вид:

Это равенство выражает теорему об пзмепении кинетического момента системы относительно неподвижной точки: производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно некоторой неподвижной точки, равняется главному моменту всех внешних сил относительно этой точки.

Если то согласно (4.4) вектор кинетического момента постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений двпжеиия системы:

Эти интегралы посят название интегралов кинетического момента или интегралов площадей.

Если точка А совпадает с центром масс системы, то Тогда первое слагаемое в правой части равенства (4.3) обращается в нуль и теорема об изменении кинетического момента имеет ту же форму записи (4.4), что и в случае неподвижной точки А. Отметим (см. п. 4 § 3), что в рассматриваемом случае абсолютный кинетический момент системы в левой части равенства (4.4) может быть заменен равный ему кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс.

Пусть - некоторая неизменная ось пли ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы, а - кинетический момент системы относительно этой оси. Из (4.4) следует, что

где - момент внешних сил относительно оси . Если во все время движения то имеем первый интеграл

В работах С. А. Чаплыгина получено несколько обобщений теоремы об изменении кинетического момента, которые применены затем при решении ряда задач о качении шаров. Дальнейшие обобщения теоремы об изменении кпнетпческога момента и их приложения в задачах дннамики твердого тела содержатся в работах . Основные результаты этих работ связаны с теоремой об изменении кинетического момента относительно подвижной , постоянно проходящей через некоторую движущуюся точку А. Пусть - единичный вектор, направленный вдоль этой оси. Умножив скалярно на обе части равенства (4.3) и добавив к его обепм частям слагаемое получим

При выполнении кинематического условия

из (4.7) следует уравнение (4.5). И если во все время движения и выполняется условие (4.8), то существует первый интеграл (4.6).

Если связи системы идеальны и допускают в числе виртуальных перемещений вращения системы как твердого тела вокруг оси и, то главный момент реакций относительно оси и равен нулю , и тогда величина в правой части уравнения (4.5) представляет собой главный момент всех внешних активных сил относительно оси и. Равенство нулю этого момента и выполнимость соотношения (4.8) будут в рассматриваемом случае достаточными условиями для существования интеграла (4.6).

Если направление оси и неизменно то условие (4.8) запишется в виде

Это равенство означает, что проекции скорости центра масс и скорости точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой являются параллельными. В работе С. А. Чаплыгина вместо (4.9) требуется выполнение менее общего условия где X - произвольная постоянная величина.

Заметим, что условие (4.8) не зависит от выбора точки на . Действительно , пусть Р - произвольная точка на оси . Тогда

и, следовательно,

В заключение отметим геометрическую интерпретацию Резаля уравнений (4.1) и (4.4): векторы абсолютных скоростей концов векторов и равны соогвегственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил относительно точки А.

Использование ОЗМС при решении задач связано с определенными трудностями. Поэтому обычно устанавливают дополнительные соотношения между характеристиками движения и сил, которые более удобны для практического применения. Такими соотношениями являются общие теоремы динамики. Они, являясь следствиями ОЗМС, устанавливают зависимости между быстротой изменения некоторых специально введенных мер движения и характеристиками внешних сил.

Теорема об изменении количества движения. Введем понятие вектора количества движения (Р. Декарт) материальной точки (рис. 3.4):

Я і = т V г (3.9)

Рис. 3.4.

Для системы вводим понятие главного вектора количества движения системы как геометрической суммы:

Q = Y, m " V r

В соответствии с ОЗМС: Хю,-^=я) , или X

R (E) .

С учетом, того /w, = const получим: -Ym,!" = R (E) ,

или в окончательном виде

дО/ді = А (Е (3.11)

т.е. первая производная по времени главного вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил.

Теорема о движении центра масс. Центром масс системы называют геометрическую точку, положение которой зависит от т, и т.е. от распределения масс /г/, в системе и определяется выражением радиуса-вектора центра масс (рис. 3.5):

где г с - радиус-вектор центра масс.

Рис. 3.5.

Назовем = т с массой системы. После умножения выраже-

ния (3.12) на знаменатель и дифференцирования обеих частей полу-

ценного равенства будем иметь: г с т с = ^т.У. = 0, или 0 = т с У с.

Таким образом, главный вектор количества движения системы равен произведению массы системы и скорости центра масс. Используя теорему об изменении количества движения (3.11), получим:

т с дУ с /ді = А (Е) , или

Формула (3.13) выражает теорему о движении центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, обладающая массой системы, на которую действует главный вектор внешних сил.

Теорема об изменении момента количества движения. Введем понятие момента количества движения материальной точки как векторное произведение ее радиуса-вектора и количества движения:

к о, = бл х т, У , (3.14)

где к ОІ - момент количества движения материальной точки относительно неподвижной точки О (рис. 3.6).

Теперь определим момент количества движения механической системы как геометрическую сумму:

К() = X ко, = ЩУ, ? О-15>

Продифференцировав (3.15), получим:

Ґ сік --- х т і У. + г ю х т і

Учитывая, что = У Г У і х т і У і = 0, и формулу (3.2), получим:

сіК а /с1ї - ї 0 .

На основании второго выражения в (3.6) окончательно будем иметь теорему об изменении момента количества движения системы:

Первая производная по времени от момента количества движения механической системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

При выводе соотношения (3.16) предполагалось, что О - неподвижная точка. Однако можно показать, что и в ряде других случаев вид соотношения (3.16) не изменится, в частности, если при плоском движении моментную точку выбрать в центре масс, мгновенном центре скоростей или ускорений. Кроме этого, если точка О совпадает с движущейся материальной точкой, равенство (3.16), записанное для этой точки обратится в тождество 0 = 0.

Теорема об изменении кинетической энергии. При движении механической системы изменяется как «внешняя», так и внутренняя энергия системы. Если характеристики внутренних сил, главный вектор и главный момент, не сказываются на изменении главного вектора и главного момента количества ускорений, то внутренние силы могут входить в оценки процессов энергетического состояния системы. Поэтому при рассмотрении изменений энергии системы приходится рассматривать движения отдельных точек, к которым приложены также и внутренние силы.

Кинетическую энергию материальной точки определяют как величину

Т^туЦг. (3.17)

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий материальных точек системы:

Заметим, что Т > 0.

Определим мощность силы, как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости:

Сформулируйте теорему о движении центра масс системы.

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все силы, действующие на систему.

Какое движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, имеющей массу данного тела, и почему?

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следовательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки с массой тела, можно определить поступательное движение всего тела.

При каких условиях центр масс системы находится в состоянии покоя и при каких условиях он движется равномерно и прямолинейно?

Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и начальная скорость центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое.

Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и начальная скорость
, то центр масс движется равномерно и прямолинейно.

При каких условиях центр масс системы не перемещается вдоль некоторой оси?

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось остается все время равной нулю и проекция скорости на эту ось равна нулю, то координата центра масс по этой оси остается постоянной.

Какое действие на свободное твердое тело оказывает приложенная к нему пара сил?

Если приложить пару сил к свободному твердому телу, находящемуся в покое, то под действием этой пары сил тело начнет вращаться вокруг своего центра масс.

Теорема об изменении количества движения.

Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

Импульс переменной силы за конечный промежуток времени
равен

.

Импульс силы характеризует передачу телу механического движения со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени.

Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

Проекции импульса переменной силы на оси координат равны

,
,
.

Проекции импульса постоянной силы на оси координат за промежуток времени равны

,
,
.

Чему равен импульс равнодействующей?

Импульс равнодействующей нескольких сил за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов составляющих сил за этот же промежуток времени

.

Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

При равномерном движении точки по окружности изменяется направление количества движения
, но сохраняется его модуль
.

Что называется количеством движения механической системы?

Количеством движения механической системы называется вектор равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движений всех точек системы

.

Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

Количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести, равно нулю, т. к.
.

Сформулируйте теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах. Выразите каждую из этих теорем векторным уравнением и тремя уравнениями в проекциях на оси координат.

Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу действующих на точку сил

.

Изменение количества движений точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени

.

В проекциях эти теоремы имеют вид

,
,

,
,
.

Производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на систему

.

Производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил на ту же ось

,
,
.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток

.

Изменение проекции количества движения системы на любую ось равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на систему, на ту же ось

,
,
.

При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

Если главный вектор внешних сил за рассматриваемый промежуток времени равен нулю, то количество движения системы постоянно.

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось постоянна.

Почему происходит откат орудия при выстреле?

Откат орудия при выстреле по горизонтальному направлению обусловлен тем, что проекция количества движения на горизонтальную ось не изменяется при отсутствии горизонтальных сил

,
.

Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

Т. к. главный вектор внутренних сил равен нулю, то они не могут изменить количество движения системы.

ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (в дифференциальной форме) .

1. Для точки: производная от количества движения точки по времени равна равнодействующей приложенных к точке сил :

или в координатной форме:

2. Для системы: производная от количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы (векторной сумме внешних сил , приложенных к системе):

или в координатной форме:

ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ (теорема количества движения в конечной форме).

1. Для точки: изменение количества движения точки за конечный промежуток времени равно сумме импульсов, приложенных к точке сил (или импульсу равнодействующей приложенных к точке сил)

или в координатной форме:

2. Для системы: изменение количества движения системы за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил:

или в координатной форме:

Следствия: при отсутствии внешних сил количество движения системы есть величина постоянная; если внешние силы системы перпендикулярны некоторой оси, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная.

ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

1. Для точки: Производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторого центра (оси) равна сумме моментов приложенных к точке сил относительно того же центра (оси):

2. Для системы:

Производная по времени от момента количества движения системы относительно некоторого центра (оси) равна сумме моментов внешних сил системы относительно того же центра (оси):

Следствия: если внешние силы системы не дают момента относительно данного центра (оси), то момент количества движения системы относительно этого центра (оси) есть величина постоянная.

Если силы, приложенные к точке, не дают момента относительно данного центра, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная и точка описывает плоскую траекторию.

ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1. Для точки: изменение кинетической энергии точки на конечном ее перемещении равно работе приложенных к ней активных сил (касательные составляющие реакций неидеальных связей включаются в число активных сил):

Для случая относительного движения: изменение кинетической энергии точки при относительном движении равно работе приложенных к ней активных сил и переносной силы инерции (см. "Частные случаи интегрирования") :

2. Для системы: изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении ее точек равно работе приложенных к ней внешних активных сил и внутренних сил, приложенных к точкам системы, расстояние между которыми меняется:

Если система неизменяема (твердое тело), то ΣA i =0 и изменение кинетической энергии равно работе только внешних активных сил.

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm i , к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат; внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат.

ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ, ВЫРАЖЕННАЯ ЧЕРЕЗ ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС.

Изменение скорости центра масс системы за конечный промежуток времени равно импульсу внешних сил системы за тот же промежуток времени, деленному на массу всей системы.

(МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) – IV вариант

1. Основное уравнение динамики материальной точки, как известно, выражено уравнением . Дифференциальные уравнения движения произвольных точек несвободной механической системы согласно двух способов деления сил можно записать в двух формах:

(1) , где k=1, 2, 3, … , n – количество точек материальной системы.

где - масса k-той точки; - радиус вектор k-той точки, - заданная (активная) сила, действующая на k-тую точку или равнодействующая всех активных сил, действующих на k-тую точку. - равнодействующая сил реакций связей, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внутренних сил, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внешних сил, действующая на k-тую точку.

При помощи уравнений (1) и (2) можно стремиться решать как первую, так и вторую задачи динамики. Однако решение второй задачи динамики для системы очень усложняется не только с математической точки зрения, но и потому, что мы сталкиваемся с принципиальными трудностями. Они заключаются в том, что как для системы (1), так и для системы (2) число уравнений значительно меньше числа неизвестных.

Так, если использовать (1), то известными для второй (обратной) задачи динамики будут и , а неизвестными будут и . Векторных уравнений будет «n », а неизвестных - «2n».

Если же исходить из системы уравнений (2), то известные и часть внешних сил . Почему часть? Дело в том, что в число внешних сил входят и внешние реакции связей, которые неизвестны. К тому же неизвестными будут ещё и .

Таким образом, как система (1), так и система (2) НЕЗАМКНУТА. Нужно добавлять уравнения, учитывая уравнения связей и возможно ещё нужно накладывать некоторые ограничения на сами связи. Что делать?

Если исходить из (1), то можно пойти по пути составления уравнений Лагранжа первого рода. Но такой путь не рационален потому, что чем проще задача (меньше степеней свободы), тем труднее с точки зрения математики ее решать.

Тогда обратим внимание на систему (2), где - всегда неизвестны. Первый шаг при решении системы – это нужно исключить эти неизвестные. Следует иметь в виду, что нас, как правило, не интересуют внутренние силы при движении системы, то есть при движении системы не нужно знать, как движется каждая точка системы, а достаточно знать как движется система в целом.

Таким образом, если различными способами исключить из системы (2) неизвестные силы , то получаем некоторые соотношения, т. е. появляются некоторые общие характеристики для системы, знание которых позволяют судить о том, как движется система в общем. Эти характеристики вводятся при помощи так называемых общих теорем динамики. Таких теорем четыре:

1. Теорема о движении центра масс механической системы ;

2. Теорема об изменении количества движения механической системы ;

3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы ;

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы .