Open Library - открытая библиотека учебной информации. Плоское напряженное и плоское Плоским напряженным состоянием называется такое при котором

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х= const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n х =0 . Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х )—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

откуда получим

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.

Рис.4. Плоская деформация.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна

Из рис. 4 следует

Учитывая, что MN=dx, получим

В случае малых деформаций, когда , , можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения

справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим

Угловая деформация определяется как сумма углов и (4). В случае малых деформаций

Для угловой деформации имеем

Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений

Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.

Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV 0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры

(рис. 4), а его объем будет равен

Относительное изменение объема

в пределах малых деформаций составит

что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат.

Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема.

Действие отброшенной части на оставшуюся вблизи точки B будет представлено напряжениями напоминаем что первый индекс для касательных напряжений соответствует оси нормальной к сечению второй оси параллельно которой направлено касательное напряжение. Напряжения в наклонных сечениях Поставим задачу: Определить напряжения в произвольном сечении проходящем через заданную точку B плиты.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние , когда нормальные напряжения возникают как в направлении оси Х, так и оси Y (например, в тонкостенных сосудах нагруженных внешним давлением). А в сечениях, перпендикулярных осям X и Y действуют касательные напряжения (в балках при изгибе) называется плоским (двухосным) напряженном состоянием .

Покажем, что в плоском напряженном состоянии находится, например, плита (или пластина) произвольной формы с толщиной малой по сравнению с прочими размерами. По контуру плиты действует любая взаимно уравновешенная система внешних сил, распределенных равномерно по толщине и параллельных срединному слою. Вследствие малости изменением напряжений в направлении, перпендикулярном к наружным плоскостям плиты, можно пренебречь. В то же время, т.к. внешние силы на наружных плоскостях отсутствуют, то любой элементарной площадке этих поверхностей усилий и напряжений равны нулю, а следовательно, они равны нулю, и для всех сечений, параллельных этим поверхностям. Эти сечения являются главными, поэтому в рассматриваемом случае одно из главных напряжений равно нулю.

Отнесем тело к координатным осям XOY , расположенным в плоскости срединного слоя. Мысленно рассечем плиту (пластину) сечениями I и II , перпендикулярными осям X и Y . Действие отброшенной части на оставшуюся, вблизи точки B будет представлено напряжениями (напоминаем, что первый индекс для касательных напряжений соответствует оси нормальной к сечению, второй- оси параллельно которой направлено касательное напряжение). Таким образом в общем случае вблизи произвольной точки плиты создается плоское напряженное состояние, при котором.

Напряжения в наклонных сечениях

Поставим задачу: Определить напряжения в произвольном сечении, проходящем через заданную точку B плиты.

Для этого проведем сечение III бесконечно близко от точки B . Полное напряжение в этом сечении можно считать равным полному напряжению в сечении, проходящем через точку B . Положение сечения определяется углом, который составляет с осью X нормаль N к сечению.

Мысленно выделим из плиты треугольную пластину BCD находящуюся, как и все тело в равновесии. В Виду бесконечно малых размеров пластинки полагаем напряжения равномерно распределенными по граням. Тогда равнодействующая сил, действующих на каждую грань пластинки, может вычисляться, как произведение напряжения на площадь соответствующей грани и будет приложена к центру тяжести грани. Поместим начало координат в точке -центр тяжести грани CD .

Считаем, что напряжения известны. Найдем - составляющие полного напряжения S по координатным осям, а также нормальные и касательные напряжения на грани CD . Составляем уравнения равновесия:

1. Сумму моментов относительно точки

После сокращения получим

(1)

Этот результат выражает условие равновесия касательных сил во взаимно перпендикулярных сечениях в непосредственной близости прямого угла, касательные напряжения имеют равные модули и направлены к вершине прямого угла (или от вершины, когда направлены в стороны, противоположные показанным на рисунке).

Обозначим, тогда, где, -направляющие косинусы.

Уравнения проекции

После сокращения на A

(2)

Найдем нормальную и касательную компоненты полного напряжения

Учитывая, что, получим

(3)

Можно показать, что:

• - во взаимно перпендикулярных сечениях сумма нормальных напряжений постоянна, а модули касательных напряжений равны;
• - в параллельных сечениях нормальные и касательные напряжения равны по модулю и знаку.

Правила знаков:

• положительные:

Нормальные напряжения, если растягивающие;

Касательные напряжения, если создают вращения элемента BCD относительно точки внутри него против часовой стрелки, а -по часовой стрелки.

Главные напряжения и сечения

Сечения называются главными, если:

• нормальные напряжения достигают экстремальных значений;
• касательные напряжения отсутствуют (равны нулю).

При этом, каким из признаков пользоваться - безразлично, один из них всегда может представлен как следствие другого.

Определим положение главных сечений по второму признаку, полагая, что сечение CD главное, т.е. , а, следовательно

, (а)

Подставив (а) в (2) получим

(4)

Здесь - определяют положение грани CD , когда она становится главным сечением. Система (4) относительно неизвестных является однородной и имеет решение отличное от нуля, только когда определитель системы (4) равен нулю (теорема Руше), т.е.

(5)

В развернутом виде, а после преобразований

(6)

Решая квадратное уравнение, находим модули главных напряжений

Откуда

(7)

Оба корня (7) уравнения (6) являются вещественными, они и дают значения двух главных напряжений и, а третье как отмечалось ранее, в плоском случае напряженного состояния равны нулю. Если, то, то в соответствии с условием, получим, .

Главные напряжения и, т.е. корни уравнения (6) определяются характером напряженного состояния, и не зависит, от того какая система координатных осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте осей X , Y коэффициенты и уравнения (6) должны оставаться неизменными (что). Поэтому называются инвариантами напряженного состояния.

Найдем направление главных напряжений, или - направляющие косинусы, определяющие положение главных сечений, полагая и вычисленными из выражений (7).

Для этого имеется система уравнений (5), но она однородная и корни её, отличные от нуля, определить невозможно. Из курса тригонометрии известно

(8)

(в)

то получим систему уравнений (8) и (в) неоднородную и определенную, решая которую и установим положение главных сечений.

Подставив в (в) вначале будем иметь

(с)

Косинусы углов, которые составляет с координатными осями X и Y нормаль к первому главному сечению, что те же главные напряжения.

Решая систему уравнения (с) получим

(9)

Таким же образом, подставив в (в)

(10)

В (9) и (10) - углы отмеряемые вращением против хода часовой стрелки от оси X до нормалей к сечениям, в которых действуют соответственно главные напряжения и.

Установим положение главных сечений по отношению друг к другу. Для этого, перемножим почленно уравнения (9) и (10)

(d )

При подстановке в (d ) значений и из (7) после преобразований приходим к следующему выражению

(е)

Т.к. , то можно написать. Значить

Отсюда следует, что главные сечения взаимно перпендикулярны, а и (9 ’ ), (10 ’ )

Заметим, что сложив обе строки формулы (7), будем иметь - во взаимно перпендикулярных сечениях сумма нормальных напряжений постоянна .

Главные деформации

Определим деформации в направлении главных напряжений. Для этого мысленно выделим из тела, находящегося в плоском напряженном состоянии прямоугольный элемент, грани которого параллельны главным сечениям. Т.к. по граням действуют только нормальные напряжения, то направления главных напряжений будет совпадать с деформациями, называемыми главными. Используя формулы обобщенного закону Гука и полагая, получим

(11)

Экстремальные касательные напряжения

Предположим, что по граням BC и BD треугольной пластинки BCD действуют главные напряжения и. Тогда и выражения (3) примут вид

(k )

(m )

Исследуем функцию (m ) на экстремум, исходя из условия существования. Дифференцируем (m ) по.

В общем случае, следовательно (s ).

Значок при поставлен для того, чтобы отличить корни уравнения (s ), определяющие положение сечений, в которых достигает экстремальных значений, от корней уравнений (9), (10) определяющих положение главных сечений.

Уравнение (s ) в пределах имеет два корня, отличающихся друг от друга на и, откуда получаем.

Т.о. сечения в которых касательные напряжения достигают наибольшего абсолютного значения, располагаются под углом к главным сечениям. Эти сечения также взаимно перпендикулярны.

При и выражение (k 0 принимает вид

(12)

В этих же сечениях

или (13)

На рисунке и в дальнейшем отсчет углов ведется от оси (2 или 3), совпадающей по направлению с наименьшим из главных напряжений (или). Тогда, в соответствии с изложенным, под углом к этой оси располагается нормаль к сечению с, а под углом - с. На гранях пластинки abcd , кроме касательных напряжений могут быть и нормальные, определяемые по формуле (13). Заметим, что всегда больше нуля и поэтому имеет направление, при котором создает вращение элемента abcd относительно любой точки внутри него против часовой стрелки, -по часовой стрелки. В общем случае плоского напряженного состояния, когда заданы не главные напряжения, а и модули экстремальных можно определить по формуле

(14)

которые получены при подстановке (7) в (12).

Удельная потенциальная энергия

При растяжении (сжатии) внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения и вызывают деформации материала. При деформации совершают работу и внутренние силы упругости. Известно, что энергия, накопленная телом при деформации, называется потенциальной энергией деформации, а величина этой энергии, отнесенная к единице объема материала – удельной потенциальной энергией. При центральном растяжении (сжатии) вычисляли из выражения. В плоском напряженном состоянии удельная потенциальная энергия деформации получится как сумма двух слагаемых

Т.к. и, тогда

(15)

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
6543.		Объемное (пространственное) напряженное состояние	228.62 KB
	Совокупность напряжений возникающих во множестве сечений проходящих через рассматриваемую точку называется напряженным состоянием вблизи точки. Исследование законов изменения напряжений вблизи точки не является чисто отвлеченным. После сокращений получаем...
6011.		Техническое состояние автомобиля	126.23 KB
	Оно бывает: Исправное состояние автомобиля это состояние при котором он соответствует всем требованиям технических условий и конструкторской документации. Так же неисправное состояние можно разделить на: Работоспособное состояние автомобиля это такое состояние при котором он способен выполнять определенную работу с параметрами указанными в его технической характеристике. Предельное состояние автомобиля агрегата или детали это такое состояние при котором их эксплуатировать дальше недопустимо.
8472.		Жидкое состояние вещества	230.17 KB
	Потенциальная энергия молекулы внутри жидкости меньше чем вне жидкости. Результирующая сила внутри жидкости равна 0. На весь слой лежащий у поверхности жидкости действуют силы направленные нормально внутрь жидкости. Масса жидкости на которую не действуют внешние силы должна принять сферическую форму.
12293.		Брак как правовое состояние	62.92 KB
	Возникновение состояния брака: понятие и форма брака в российском семейном законодательстве. Правовые последствия наличия и прекращения брака как правового состояния. Правовые последствия заключения брака. Правовые последствия прекращения брака.
9441.		ТЕХНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ МАШИН И ЕГО ОЦЕНКА	109.07 KB
	Важная стадия жизненного цикла эксплуатация которая включает транспортирование монтаж и демонтаж использование по назначению техническое обслуживание ремонт и хранение машины. Техническим состоянием машины оборудования называют совокупность ее свойств подверженных изменению в процессе производства и эксплуатации и характеризуемых в определенный момент времени признаками установленными технической документацией. Важнейшими в жизненном цикле любой машины являются этапы производства и эксплуатации на которых осуществляются ее...
7608.		Состояние рынка земли в России	67.95 KB
	Проблема совершенствования правового регулирования земельных отношений в России в последнее время стала одной из самых актуальных, и широко обсуждается не только среди юристов, законодателей и политиков, но и в обществе в целом. Мнения сторон, участвующих в обсуждении иногда противоречивы
18050.		Финансовое состояние санатория «Джайлау»	114.75 KB
	Многочисленные предприятия и организации которые начали свою деятельность еще до кризиса а также рискнувшие начать деятельность сразу после него ощутили на себе всю тяжесть бытия в условиях нестабильной кризисной обстановки. Многие предприятия обанкротились закрылись прекратили свою деятельность переквалифицировались в другой вид деятельности более востребованный на рынке. Если обратится к становлению деятельности и сегодня существующих предприятий и организаций которые сегодня могут составить конкуренцию развитым западным...
9975.		Финансовое состояние предприятия ООО «Восход»	204.18 KB
	Важная роль в реализации этой задачи отводится анализу финансового состояния предприятия. С его помощью вырабатывается стратегия и тактика развития предприятия обосновываются планы и управленческие решения осуществляется контроль за их выполнением выявляются пути повышения эффективности коммерческой деятельности а также оцениваются результаты деятельности предприятия его подразделений и работников. Финансы предприятия гостиничного комплекса являются важной составной частью финансовой системы. Входящие в финансы предприятий гостиничного...
18527.		Страхование в Казахстане - состояние и перспективы	98 KB
	Становление и развитие института страхования в Республике Казахстан. Основные понятия страхового рынка в Республике Казахстан. Правовая характеристика отдельных видов страхования. Понятие и признаки договора страхования.
4941.		Состояние и пути совершенствования СКД в музее	244.26 KB
	Теоретические аспекты организации СКД музея средствами информационно-просветительских методик. Состояние проблемы организации социально-культурной деятельности музея. Характеристика информационно-просветительских методик в процессе организации социальнокультурной деятельности музея...

Рассмотрим тонкую пластинку под действием сил, лежащих в плоскости пластинки (рис. 2.12). В этой плоскости расположим систему координат (х, у). Торцевые (фасадные) поверхности пластинки свободны от напряжений, и потому

Векторы напряжений и лежат в одной плоскости, и напряженное состояние называется плоским. Отметим, что все точки пластинки находятся в плоском напряженном состоянии. В общем случае понятие «плоское напряженное состояние» относится к рассматриваемой точке элемента конструкции.

Если в данной точке А существует площадка, в которой отсутствуют (нормальное и касательное) напряжения, то напряженное состояние в точке является плоским. Например, в точках свободной поверхности детали (рис. 2.13) напряженное состояние будет плоским (ось z в точке А направлена по нормали к поверхности).

Особая важность плоского напряженного состояния связана с тем, что оно реализуется в точках поверхности элементов конструкции, которые часто являются «опасными точками». (точками с наибольшими напряжениями в поверхностном слое).

Напряжения в косых площадках при плоском напряженном состоянии. Изучим напряжения в косых площадках, перпендикулярных плоскости пластинки (рис. 2.14).

Рис. 2.12. Плоское напряженное состояние

Рис. 2.13. Плоское напряженное состояние в точках свободной поверхности детали

Условный термин «косая» или «наклонная» площадка означает, что нормаль к площадке не совпадает ни с одной из осей выбранной системы координат.

В площадке ВС, нормаль к которой v составляет угол а с осью х, действуют нормальное и касательное напряжения. Напряжения распределены равномерно по толщине пластинки h, торцевые грани элемента ABC не загружены. Ближайшая задача состоит в определении величин из условий равновесия элемента АБС. Проектируя все усилия на направление нормали v, найдем

Массовые силы, действующие на элемент,

составляют усилия второго порядка малости, и в уравнении (15) они отсутствуют. Учитывая, что из рис. 2.14 следует

получим из соотношения (15)

Проектируя все усилия на направление вектора найдем

Формулы (17) и (19) дают значение нормальных и касательных напряжений в косой площадке.

Замечания. 1. Следует строго уяснить, что при выводе уравнений (15) и (18) рассматриваются условия равновесия не напряжений (таких условий не существует!), а действующих усилий по граням элемента.

2. Напряжения по граням элементарного объема (рис. 2.14) распределяются равномерно. Косую площадку можно рассматривать как косое сечение в элементарном параллелепипеде (рис. 2.15), и те же результаты (равенства (17) и (19)) вытекают из условий равновесия заштрихованной частя параллелепипеда.

3. Неизвестные векторные величины, для которых принято определенное правило знаков, при выводе следует принимать положительно направленными. Например, на рис. 2.14 направлено как растягивающее напряжение.

При плоском напряженном состоянии в одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю. Совместим эту площадку с плоскостью чертежа и выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (элементарную) треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота (в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа) равна основания призмы представляют собой прямоугольные треугольники (рис. 2.3, а).

Приложим к выделенной призме те же напряжения, которые действовали на нее до выделения ее из тела. В связи с тем, что все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по ее боковым граням можно считать распределенными равномерно и равными напряжениям в площадках, проходящих параллельно ее граням.

Выберем систему координат, совместив оси и у (в плоскости чертежа) с гранями призмы (рис. 2.3, а). Обозначим напряжения, параллельные оси и - оси у.

Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклоненной под углом а к грани, по которой действуют напряжения обозначим

Примем следующее правило знаков. Растягивающее нормальное напряжение положительно, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор стремится вращать призму по часовой стрелке относительно любой точки, лежащей на внутренней нормали к этой грани. Угол а положителен, если грань призмы (по которой действует напряжение ) для совмещения с гранью (по которой действует напряжение ) поворачивается на этот угол против часовой стрелки. На рис. 2.3, а все напряжения, а также угол а положительны.

Умножив каждое из напряжений на площадь грани, по которой оно действует, получим систему сосредоточенных сил Ту и Та, приложенных в центрах тяжести соответствующих граней (рис. 2.3, б):

Эти силы должны удовлетворять всем уравнениям равновесия, так как призма, выделенная из тела, находится в равновесии.

Составим следующие уравнения равновесия:

В уравнение (4.3) силы не входят, так как линии их действия проходят через точку (начало системы координат ).

Подставив в уравнение (4.3) выражения и Ту из равенств (1.3), получим

Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между называется законом парности касательных напряжений.

Из закона парности касательных напряжений следует, что в двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения направлены либо к линии пересечения этих площадок (рис. 3.3, а), либо от нее (рис. 3.3, б).

Подставим в уравнения (2.3) и (3.3) выражения сил из равенств (1.3):

Сократим эти уравнения на , учитывая при этом, что (см. рис. 2.3, а):

Теперь заменим на [см. формулу (5.3)]:

Формулы (6.3) и (7.3) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения в любых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.

Определим по формуле (6.3) сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол а равен а для другой

т. е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то в другой они имеют минимальное значение.

При исследовании напряженного состояния сначала определяют напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку тела.

Если одна из этих площадок оказывается свободной от напряжении, то напряженное состояние является плоским. Бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда, выделенный из тела указанными тремя площадками и тремя другими, им параллельными, показан на рис. 4.3, с. Его принято изображать в виде прямоугольника (или квадрата), представляющего собой проекцию элемента на плоскость, совпадающую с площадкой, свободной от напряжений (рис. 4.3,б). Значения напряжений достаточно указывать на двух взаимно перпендикулярных боковых гранях параллелепипеда.

Если требуется показать напряжения, возникающие не в одной паре взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через данную точку, а в нескольких, то соответствующие прямоугольники (или квадраты) могут изображаться, как это, например, показано на рис. 4.3, в.

По напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках можно вычислить [с помощью формул (6.3) и (7.3)] напряжения в любых площадках; поэтому рисунок (например, 4.3, б, в), на котором показаны эти напряжения, можно рассматривать как изображение напряженного состояния в точке.

Любое напряженное состояние можно рассматривать как сумму нескольких напряженных состояний (принцип наложения напряжений). Так, например, напряженное состояние, показанное на рис. 5.3, а, можно рассматривать как сумму напряженных состояний, изображенных на рис. 5.3, б,в.

Выделим из тела в окрестности точки бесконечно малую треугольную призму, по основанию которой нормальные и касательные напряжения равны нулю.

Правило знаков любого σ > 0, если нормальные напряжения направлены от площадки; t > 0, если стремится вращать плоскость чертежа по ходу часовой стрелки; a > 0, если грань bc для совмещения с гранью ас нужно повернуть на острый угол против часовой стрелки.

Найдем равнодействующую силы приложенной к каждой грани призмы. Для этого нужно соответствующие напряжения умножить на площадь грани.

Эти равнодействующие силы должны удовлетворять всем условиям равнодействия. Проведём оси U и V, и реализуем шесть условий равновесия.

åU =0 Ta + Fy ·cos a - Tx · sin a - Fx · sin a - Ty ·cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) – sin a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx · cos a+ Ty · sin a - Fx ·cos a - Fy ·sin a

Fa -Fx + Tx ·cos a + (Ty – Fy ·sin a) = 0 (2)

Сумма моментов относительно точки на оси å m 0 = 0

å m 0 = 0 Tx · dy/2 + Ty · dx/2 = 0 (3)

Подставим значения Tx и Ty и разделим обе части на dx/2 · dy dz

t x · dx/2 · dy dz + t y · dx/2 · dy dz = 0

Касательные напряжения по двум взаимно-перпендикулярным площадям равны по модулю обратны по знаку. Зависимость (4) называется законом парности касательных напряжений. Из (4) следует что касательные напряжения направлены или к вершине прямого угла или от него.

Если подставить в зависимость (1) и (2) и заменить t y на - t ч, а также учесть, что dx/ds = sin a , а dy/ds =cos a , то после преобразований получим значения нормальных и касательных напряжений по площадке повернутой относительно площадки с σ х и σ y на угол a.

σ a = σ x · cos 2 a + σ y · sin 2 a + tx · sin2a (5)

t y = ((σ x · σ y)/2) sin2a - tx · cos2a (6)

Если формулу (5) подставить в значение a и a ¹ 90°, то получим

σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = const. (7)

Вывод: сумму нормальных напряжений по двум взаимно- перпендикулярным площадкам является величиной постоянной, значит если на первой площадке имеем max нормальных напряжений, то по перпендикулярной ей площадке будут σ min.

Главные напряжения. Главные площади.

При инженерных расчетах нет необходимости в определении напряжений по всем площадкам проходящим через данную точку. Достаточно знать их экстремальные значения σ max и σ min , которые называются главными напряжениями, а площадки по которым они действуют называются главными площадками.

Чтобы получить экстремальное значение σ нужно первую производную от выражения (5) по углу a приравнять нулю.

Вывод: по главным площадкам касательные напряжения равны нулю.

tg2a 0 = (8)

tg2a 0 = (9)

Для определения положения главных площадок площадки по которым действуют σ x и σ y нужно повернуть на угол a 0 против хода часовой стрелки, если a 0 > 0 .

Из формулы (8) 2a 0 изменяется от –90° до 90°, а значит - 45°£a 0 £45° , это значит, что поворот может быть на угол не более 45 °.

При определении главных напряжений значение a 0 из (8) можно подставить в (5) или пользоватся формулой полученной из зависимости (6) и (9).

(10)

Экстремальные касательные напряжения.

Площадки по которым действуют экстремальные касательные напряжения называют площадками сдвига.

Чтобы определить экстремальные касательные напряжения нужно, взяв первую производную от (6) по углу a приравнивая её к нулю.

;
;

Разделим обе части уравнения на cos2a 1 получим:

(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0

tg2a 1 = (11)

Угол наклона плоскости с экстремальным касательным напряжением к площадке с dх нужно повернуть против хода часовой стрелки на угол a 1.

Из формулы (11) можно получить a 1 и a 1 +90, которые определяются двумя взаимно-перпендикулярными площадками. На одной из них будет действовать t max, а по другой t min . Но в соответствии с законами парности касательных напряжений t max = - t min . Из сравнения (8) и (11) получим a 1 ¹ a 0 +45°

Вывод: между главными площадками и площадками сдвига угол 45°

Подставив в формулу (6) σ х = σ max ; σ y = σ min ; t x = 0; a 1 =+ 45° получим

= + (12)

подставим в (12) значение из (10) и после преобразований получим зависимость экстремальных касательных напряжений от напряжений по случайным площадям

= + 1/2 (13)

Круги Мора.

Пусть дано некоторое плоское напряженное состояние.

Построим для этого напряженного состояния круг Мора в системе прямоугольных координат.

Порядок действий:

1. по оси d отложим в максимальную величину dх

2. по оси t отложим значение ty

3. на пересечении получим точку А

4. аналогично отложим) dу и tх; точка А характеризует направление по вертикальным граням, точка В – по горизонтальным.

5. Соединим точки А и В и на пересечении с осью d получим точку О

6. Из точки О, как из центра круга проведем окружность

7. Определим радиус окружности из прямоугольного треугольника ОКВ

R =

На пересечении горизонтальных и вертикальных площадок с окружностью получим точку С, которую назовём полюсом.

Теперь можно определить направление на любой площадке, для этого нужно параллельно заданной площадке провести через полюс прямую до пересечения с окружностью.

Точка М будет иметь координаты da и ta. Можно решить и обратную задачу, т. е. по значениям da и ta определить угол a.